Полярная окружность

Полярная окружность треугольника — это окружность, центр которой совпадает с ортоцентром треугольника, а радиус равен

Полярная окружность

где A, B, C означают как вершины, так и соответствующие углы, а точка Hортоцентр (пересечение высот). Точки D, E и F являются основаниями высот, опущенных из вершин A, B и C соответственно, R является радиусом описанной окружности, а a, b и c — длинами сторон треугольника, противоположных вершинам A, B и C соответственно[1].

Первая часть формулы отражает факт, что ортоцентр делит высоты на отрезки, произведения которых равны. Тригонометрическая часть формулы показывает, что полярный круг существует только в случае, когда треугольник является тупоугольным, так что один из косинусов отрицателен.

Свойства

Любые две полярные окружности двух треугольников ортоцентричной системы ортогональны[2].

Полярные окружности треугольников полного четырёхсторонника образуют коаксиальную систему (т.е. имеющую общую ось)[3].

Описанная окружность треугольника, его окружность девяти точек, полярная окружность и описанная окружность его тангенциального треугольника коаксиальны[4].

Примечания

  1. Johnson, 2007, с. 176.
  2. Johnson, 2007, с. 177.
  3. Johnson, 2007, с. 179.
  4. Altshiller-Court, 2007, с. 241.

Литература

  • Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Mineola, New York: Dover Publications, 2007. — ISBN 0-486-46237-4.
  • Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 2007. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 9780486458052.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.