Поверхность Веронезе

Поверхность Веронезе — алгебраическая поверхность в пятимерном проективном пространстве, которая реализуется как образ вложения Веронезе. Существует также обобщение вложения Веронезе на произвольные размерности проективных пространств. Названа в честь итальянского математика Джузеппе Веронезе.

Определение

Поверхность Веронезе — это образ вложения Веронезе, то есть отображения

{\displaystyle \nu

заданного формулами

{\displaystyle \nu

где $[x:\ldots ]$ обозначает однородные координаты точки на проективной плоскости.

Мотивировка определения

Поверхность Веронезе естественным образом возникает при изучении коник, особенно при доказательстве утверждения «пять точек однозначно определяют конику». Коника — это плоская кривая, заданная уравнением

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0,

которое квадратично относительно переменных $x,y,z.$ Однако композиция с вложением Веронезе позволяет сделать это уравнение линейным (более точно, для получения произвольной коники достаточно пересечь поверхность Веронезе гиперплоскостью и взять прообраз пересечения). Обратно, условие того, что коника содержит точку $[x:y:z]$ является линейным относительно коэффициентов $(A,B,C,D,E,F)$ , а значит уменьшает размерность пространства на единицу. Более точное утверждение состоит в том, что пять точек общего положения определяют пять независимых линейных уравнений, это следует из того, что при вложении Веронезе точки общего положения переходят в точки общего положения.

Отображение Веронезе

Отображение Веронезе степени d из n-мерного проективного пространства — это отображение

\nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}

где m задаётся при помощи биномиального коэффициента:

m={n+d \choose d}-1.

Отображение отпрявляет точку $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ во все возможные мономы от $x_{0},\ldots ,x_{n}$ полной степени d. Множество таких мономов называется многообразием Веронезе.

Для низких d отображение тривиально: при d = 0 получается отображение в единственную точку $\mathbb {P} _{0}$ , при d = 1 — тождественное отображение; поэтому обычно рассматривается случай d, не меньшего двух.

Можно определить отображение Веронезе не зависящим от координат способом, а именно

\nu _{d}:\mathbb {P} V\to \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}

где V — конечномерное векторное пространство, а ${\rm {{Sym}^{d}V}}$ — его симметрическая степень.

Рациональные нормальные кривые

При $n=1$ образ вложения Веронезе известен как рациональная нормальная кривая. Приведём примеры рациональных нормальных кривых малых размерностей:

При $n=1,d=1$ вложение Веронезе — тождественное отображение проективной прямой на себя.
При $n=1,d=2$ многообразие Веронезе — парабола $[x^{2}:xy:y^{2}],$ в аффинных координатах $(x,x^{2}).$
При $n=1,d=3$ многообразие Веронезе — скрученная кубика, $[x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],$ в аффинных координатах $(x,x^{2},x^{3}).$

Бирегулярность вложения Веронезе

Образ многообразия под действием вложения Веронезе снова является многообразием, причём изоморфным первому (это значит, что существует обратное отображение, которое также регулярно). Таким образом, вложение Веронезе бирегулярно.

Из бирегулярности следует, в частности, что точки общего полложения переходят в точки общего положения. Действительно, если бы образы точек удовлетворяли нетривиальному уравнению, это уравнение задавало бы подмногообразие, прообраз которого был бы подмногообразием, содержащим исходные точки. Также при помощи этого можно показать, что любое проективное многообразие является пересечением многообразия Веронезе и линейного пространства, то есть пересечением квадрик.

Литература

Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. — М.: МЦНМО, 2005. ISBN 5-94057-084-4

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.