Планковская энергия

Для сигнала, путешествующего вокруг точечной гравитирующей массы, гравитационная задержка может быть вычислена по следующей формуле:

${\displaystyle \Delta t=-{\frac {2GM}{c^{3}}}\ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} ).}$ (1)

Здесь ${\displaystyle \mathbf {R} }$ — это единичный вектор, направленный от наблюдателя к источнику, а ${\displaystyle \mathbf {x} }$ — единичный вектор, направленный от наблюдателя к гравитирующей точке массы M.

Отсюда следует, что для того, чтобы вызвать задержку сигнала, равную фиксированному и априори заданному промежутку времени ${\displaystyle \tau }$, требуется масса

${\displaystyle M=-{\frac {\tau c^{3}}{2ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )G}}.}$ (2)

Энергия, эквивалентная данной массе, равна:

${\displaystyle E_{1}(\tau )=-{\frac {\tau c^{5}}{2ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )G}}.}$ (3)

С другой стороны энергия кванта ЭМ излучения с периодом ${\displaystyle \tau }$ равна

${\displaystyle E_{2}(\tau )={\frac {h}{\tau }}={\frac {2\pi \hbar }{\tau }}.}$ (4)

Произведение этих двух энергий, определяемых формулами (3) и (4), равно:

${\displaystyle E_{1}(\tau )E_{2}(\tau )=-{\frac {\tau c^{5}}{2ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )G}}{\frac {2\pi \hbar }{\tau }}=-{\frac {2\pi \hbar c^{5}}{2ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )G}}=-{\frac {\pi \hbar c^{5}}{ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )G}}=-{\frac {\pi E_{P}^{2}}{ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )}}.}$ (5)

Таким образом, произведение энергии, эквивалентной массе, вызывающей задержку, равную ${\displaystyle \tau }$, и энергии фотона с периодом ${\displaystyle \tau }$ не зависит от ${\displaystyle \tau }$ и равно квадрату планковской энергии с точностью до безразмерного коэффициента : ${\displaystyle -{\frac {\pi }{ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )}}}$.

Соответственно, отношение этих 2 энергий равно

${\displaystyle {\frac {E_{1}(\tau )}{E_{2}(\tau )}}=-{\frac {\tau ^{2}c^{5}}{4G\pi ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )\hbar }}=={\frac {\tau ^{2}}{4\pi ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )t_{P}^{2}}}=-{\frac {1}{4\pi ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} )}}({\frac {\tau }{t_{P}}})^{2}.}$ (6)

Где ${\displaystyle t_{P}}$ — планковское время.

• Планковская эпоха
• Максимон
• Планковская чёрная дыра
• Энергия великого объединения

• Peter J. Mohr and Barry N. Taylor. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2002 (англ.) // Reviews of Modern Physics : journal. — January 2005. — Vol. 77. — P. 1—107.

• Лекции по Общей Астрофизике для . 1.5 Планковские единицы