Осцилляции Фриделя

Электроны, двигающиеся в металле или полупроводнике, подобны свободным электронам с волновой функцией в виде плоской волны, то есть

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\Omega }}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$ .

Электроны в металле ведут себя иначе, чем частицы в обычном газе, поскольку электроны являются фермионами, и они подчиняются статистике Ферми-Дирака. Такое поведение означает, что каждое k - состояние в газе может быть занято только двумя электронами с противоположным спином. Занятые состояния заполняют сферу в зонной структуре k - пространства до фиксированного энергетического уровня — энергии Ферми ${\displaystyle \varepsilon _{F}}$. Радиус шара в k - пространстве, ${\displaystyle k_{F}={\sqrt {2m^{*}\varepsilon _{F}}}/\hbar }$, называется волновым вектором Ферми, ${\displaystyle m^{*}}$ — эффективная масса.

Если в металле или полупроводнике находится чужеродный атом, так называемая примесь, электроны, свободно двигающиеся в проводнике, рассеиваются потенциалом примеси. Поскольку электронный газ является ферми-газом, только электроны с энергиями, близкими к уровню Ферми, могут участвовать в процессе рассеяния, так как должны существовать пустые конечные состояния с близкой энергией, в которые могли бы перейти электроны после рассеяния. Состояния вокруг уровня Ферми занимают ограниченный диапазон k — значений или длин волн. Поэтому только электроны в ограниченном диапазоне длин волн вблизи энергии Ферми рассеиваются, что приводит к модуляции плотности заряда. ${\displaystyle n\left(\mathbf {r} \right)}$ вокруг примеси. Для сферически симметричного потенциала примеси, имеющей положительный заряд, в трехмерном металле плотность заряда осциллирует, как функция расстояния от примеси. ${\displaystyle |{\boldsymbol {r}}|}$ :

${\displaystyle n\left(\mathbf {r} \right)={{n}_{0}}+{\frac {1}{4\pi {{r}^{3}}\epsilon \left(2{{k}_{F}}\right)}}\sum \limits _{l}{(-1)^{l}{Z}_{l}}\cos \left(2{{k}_{F}}r+{{\delta }_{l}}\right)}$ ,

где ${\displaystyle l}$ — орбитальное квантовое число, ${\displaystyle \delta _{l}}$ — фаза рассеяния парциальной компоненты волновой функции электрона, ${\displaystyle \epsilon \left(2{{k}_{F}}\right)}$ — диэлектрическая проницаемость металла с волновым вектором, равным удвоенному вектору Ферми. Избыточное количество электронов вокруг примесного иона определяется правилом сумм Фриделя:

${\displaystyle \Delta N=\sum \limits _{l}{{Z}_{l}}={\frac {2}{\pi }}\sum \limits _{l}{\left(2l+1\right)}{{\delta }_{l}}\left({{k}_{F}}\right).}$

Для произвольной размерности электронной системы, ${\displaystyle d=1,2,3}$, добавка к плотности заряда на больших расстояниях от дефекта имеет вид:[4]

${\displaystyle \delta n(\mathbf {r} )\sim {\frac {\cos(2k_{\rm {F}}|\mathbf {r} |+\delta )}{|\mathbf {r} |^{d}}}.}$

В классическом сценарии экранирования электрического заряда наблюдается затухание электрического поля в заряженной жидкости при наличии заряженного объекта. Поскольку экранирование электрического заряда рассматривает движущиеся заряды в жидкости как точечные объекты, концентрация этих зарядов относительно расстояния от точки уменьшается экспоненциально. Это явление описывается уравнением Пуассона-Больцмана .[5]

Локализованный у дефекта заряд создается быстрыми электронами ферми-газа, которые притягиваются к дефекту, замедляют свое движение возле него и скапливаются в этой области. Существование резкой границы длин электронных волн приводит к возникновению эффектов квантовой интерференции, в результате чего вокруг рассеивающего цента возникает гало заряда.[6]

Примечание. Там, где классически вблизи заряженного возмущения можно наблюдать подавляющее количество противоположно заряженных частиц, в квантовомеханическом сценарии осцилляций Фриделя — это периодическое расположение противоположно заряженных фермионов, за которыми следуют пространства с такими же заряженными областями.[3]

Рис.2. Изображение сканирующей туннельной микроскопии примесей Cr и ступеней на поверхности Fe (001).[7]

Сканирующая туннельная микроскопия позволяет с атомным разрешением исследовать локальную плотность электронных состояний. ${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} ,\varepsilon \right)}$ (ЛПС) вблизи поверхности проводника:

${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} ,\varepsilon \right)=\sum \limits _{\mathbf {k} }{\left|{{\psi }_{\mathbf {k} }}\left(\mathbf {r} \right)\right|}^{2}\delta \left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{\mathbf {k} }}\right),}$

где ${\displaystyle {{\psi }_{\mathbf {k} }}\left(\mathbf {r} \right)}$ — волновая функция электрона с учетом рассеяния на дефекте, ${\displaystyle {{\varepsilon }_{\mathbf {k} }}}$ — энергия электрона с двумерным волновым вектором ${\displaystyle \mathbf {k} }$, ${\displaystyle \delta \left(x\right)}$ — дельта-функция Дирака.

Рассеяние на дефекте приводит к интерференции волн и изменению плотности состояний, что отражает рассеивающие свойства дефекта.[8] Типичными дефектами поверхности являются адсорбированные инородные единичные атомы (точечные дефекты) и атомные ступени (линейные дефекты) (Рис.2). Одним из способов понимания качественных характеристик стоячих волн у ступенчатого края является приближение, в котором плоский ступенчатый край моделируется непроницаемым барьером для поверхностных электронов. Ступенчатый край создает узел ЛПС, ${\displaystyle \rho \left(0,{{\varepsilon }_{F}}\right)=0}$, на грани ступени ${\displaystyle x=0}$, а ЛПС на расстоянии ${\displaystyle x}$ от ступени описывается уравнением:[8]

${\displaystyle \rho \left(x,{{\varepsilon }_{F}}\right)={\frac {{m}^{*}}{\pi {{\hbar }^{2}}}}\left[1-{{J}_{0}}\left(2{{k}_{F}}x\right)\right]}$ ,

где ${\displaystyle {{J}_{0}}\left(x\right)}$ — функция Бесселя первого рода.

Рис.3. Изображение сканирующей туннельной микроскопии наноостровков Co на поверхности Cu.[9]

Рис. 3 — двумерные осцилляции Фриделя проиллюстрированы СТМ - изображением чистой поверхности, на которой размещены наноостровки кобальта. На изображении хорошо видны двумерные фриделевские осцилляции плотности электронных состояний у точечных дефектов и границ островков.

• http://gravityandlevity.wordpress.com/2009/06/02/friedel-oscillations-wherein-we-learn-that-the-electron-has-a-size/ - простое объяснение этого явления