Нормальные координаты

Пусть ${\displaystyle M}$ есть гладкое многообразие с аффинной связностью и ${\displaystyle \exp _{p}\colon T_{p}\to M}$ есть соответствующее экспоненциальное отображение. Тогда нормальные координаты точки ${\displaystyle x=\exp _{p}v}$ считаются равными координатам вектора ${\displaystyle v}$ в касательном пространстве ${\displaystyle T_{p}}$.

Выбор последних координат произволен, в частности для риманова многообразия можно предположить, что координаты прямоугольные.

• Нормальные координаты определены в пределах радиуса инъективности базовой точки ${\displaystyle p}$.

• Символы Кристоффеля обнуляются вбазовой точек нормальных координат.

• Лемма Гаусса утверждает, что малые координатные сферы с центром в начале координат являются метрическими сферами и они остаются перпендикулярными геодезическим исходящим из базовой точки.

• Компоненты тензора кривизны однозначно определяет многочлен Тейлора степени два метрического тензора, записанного в нормальных координатах. А именно:

${\displaystyle g_{ij}(x)=\delta _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\cdot R_{iklj}\cdot x^{k}\cdot x^{l}+o(|x|^{2}).}$

• Нормальные координаты естественно обобщаются на финслеровые многообразия. Поскольку экспоненциальное отображение на финслеровых многообразия не является дважды дифференцируемым в нуле,[1] нормальные координаты финслерова многообразия также не гладки в нуле.