Лемма Гаусса о геодезических

Лемма Гаусса о геодезических утверждает, что любая достаточно малая сфера с центром в точке риманова многообразия перпендикулярна каждой геодезической через точку.

Лемма используется в доказательстве того, что геодезические являются локально кратчайшими кривыми, также она имеет фундаментальное значение при изучении геодезической выпуклости и нормальных координат.

Формулировка

Пусть $T_{p}$ обозначает касательное пространство в точке $p$ риманова многообразия $(M,g)$ и $\exp _{p}\colon T_{p}\to M$ — экспоненциальное отображение. Заметим что для любого вектора $x\in T_{p}$ касательное пространство к касательному пространству $T_{x}T_{p}$ можно отождествить с самим касательным пространством $T_{p}$ .

Для любых $x,v\in T_{p}$

g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,

где $d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp _{p}x}$ обозначает дифференциал экспоненциального отображения.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.