Метод обратной задачи рассеяния

Уравнение Кортевега — де Фриза

${\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}$

является условием совместности переопределённой системы линейных уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}(L-k^{2})\psi =0,\\\psi _{t}+A\psi =0,\end{cases}}}$

где

${\displaystyle L=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u(x,t)}$

— оператор Штурма — Лиувилля,

${\displaystyle A=4{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}-3\left(u{\frac {d}{dx}}+{\frac {d}{dx}}u\right),}$

и эквивалентно следующему операторному соотношению, называемому представлением Лакса:

${\displaystyle L_{t}=[L,A]=LA-AL.}$[2][11]

Спектр оператора Штурма — Лиувилля (оператора Шрёдингера)

${\displaystyle L=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u(x),\quad -\infty <x<\infty }$

с потенциалом ${\displaystyle u(x)}$, достаточно быстро убывающим при ${\displaystyle x\to \pm \infty }$, состоит из двух компонент: непрерывной, включающей положительную полуось ${\displaystyle k^{2}>0}$, и конечного числа отрицательных дискретных собственных значений ${\displaystyle -p_{n}^{2},\,n=1,2,\dots ,N}$. Для характеристики непрерывной части спектра вводится решение уравнения ${\displaystyle L\psi =k^{2}\psi }$, определяемое асимптотическими граничными условиями

${\displaystyle \psi (x,k)\sim T(k)e^{-ikx},\quad x\to -\infty ,}$

${\displaystyle \psi (x,k)\sim e^{-ikx}+R(k)e^{ikx},\quad x\to +\infty .}$

Данные условия однозначно определяют решение ${\displaystyle \psi (x,k)}$, а также коэффициенты прохождения ${\displaystyle T(k)}$ и отражения ${\displaystyle R(k)}$. Собственным значениям ${\displaystyle -p_{n}^{2}}$ отвечают собственные функции ${\displaystyle f_{n}(x)}$ и нормировочные константы

${\displaystyle \rho _{n}=\left[\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{n}^{2}(x)\,dx\right]^{-1}.}$

Данными рассеяния оператора ${\displaystyle L}$ называется набор величин:

${\displaystyle J=\left\{R(k),\,-\infty <k<+\infty$ ;\,p_{n},\rho _{n},\,n=1,2,\dots ,N\right\}.}

Прямая задача рассеяния заключается в определении данных рассеяния по заданному потенциалу ${\displaystyle u}$[12].

Обратная задача рассеяния состоит в восстановлении оператора ${\displaystyle L}$ (а именно, его потенциала ${\displaystyle u}$) по данным рассеяния. Один из основных методов решения обратной задачи рассеяния основан на уравнении Гельфанда — Левитана — Марченко:

${\displaystyle K(x,y)+M(x+y)+\int \limits _{x}^{\infty }K(x,z)M(z+y)\,dz=0,\quad y>x.}$

Это интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функции ${\displaystyle K(x,y)}$ (при каждом фиксированном ${\displaystyle x}$). Оно связывает функцию ${\displaystyle M(x)}$, которая строится по данным рассеяния:

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(k)e^{ikx}\,dk+\sum _{n=1}^{N}\rho _{n}e^{-p_{n}x}}$

с функцией ${\displaystyle K(x,y)}$, по которой можно найти потенциал:

${\displaystyle u(x)=-2{\frac {d}{dx}}K(x,x).}$[13]

Если функция ${\displaystyle u(x,t)}$ меняется во времени как решение уравнения Кортевега — де Фриза, то эволюция данных рассеяния во времени имеет вид

${\displaystyle R(k,t)=R(k,0)e^{8ik^{3}t},\quad p_{n}(t)=p_{n}(0),\quad \rho _{n}(t)=\rho _{n}(0)e^{8p_{n}^{3}t}.}$

Верно и обратное[14].

Схема метода обратной задачи рассеяния: по начальному условию u(x, 0) находятся данные рассеяния J(0), по ним строятся данные рассеяния J(t), затем решается обратная задача рассеяния и находится решение u(x, t) нелинейного уравнения.

Решение задачи Коши для уравнения Кортевега — де Фриза методом обратной задачи рассеяния разбивается на три этапа:

1. Решить прямую задачу рассеяния: по заданному начальному условию ${\displaystyle u(x,0)}$ найти данные рассеяния ${\displaystyle J(0)}$.
2. По ${\displaystyle J(0)}$ найти ${\displaystyle J(t)}$, используя формулы для эволюции данных рассеяния.
3. Решить обратную задачу рассеяния: по данным рассеяния ${\displaystyle J(t)}$ восстановить функцию ${\displaystyle u(x,t)}$ — искомое решение задачи Коши.

Стоит отметить, что все этапы схемы связаны с изучением линейных задач[14].

Прямая и обратная задачи рассеяния решаются точно для безотражательных потенциалов, для которых коэффициент отражения ${\displaystyle R(k)}$ тождественно равен нулю. В этом случае решение обратной задачи имеет вид

${\displaystyle u(x)=-2{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln \det A(x),}$

где ${\displaystyle A(x)}$ — ${\displaystyle N\times N}$ матрица с элементами

${\displaystyle A_{nm}=\delta _{nm}+{\frac {\rho _{n}}{p_{n}+p_{m}}}e^{-(p_{n}+p_{m})x}}$

(здесь ${\displaystyle \delta _{nm}}$ — символ Кронекера). Свойство безотражательности сохраняется по времени. Временная динамика безотражательных потенциалов получается заменой

${\displaystyle \rho _{n}\,\to \,\rho _{n}e^{8p_{n}^{3}t}}$

в определении матрицы ${\displaystyle A}$. Простейший безотражательный потенциал с одним дискретным уровнем ${\displaystyle p_{1}=\varkappa }$ называется солитоном и имеет вид

${\displaystyle u(x,t)=-{\frac {2\varkappa ^{2}}{\operatorname {ch} ^{2}\varkappa (x-4\varkappa ^{2}t-\varphi )}},}$

где введено обозначение

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{2\varkappa }}\ln {\frac {\rho _{1}}{2\varkappa }}.}$[15]