Лемма Калмана — Якубовича — Попова

Лемма встречается в литературе под различными названиями: лемма Якубовича, лемма Калмана — Якубовича, лемма Калмана — Якубовича — Попова (в англоязычных публикациях часто заменяется на «KYP lemma»). Частные случаи этого утверждения известны как лемма о положительно-вещественных матрицах (англ. positive real lemma) и лемма об ограниченно-вещественных матрицах (англ. bounded real lemma). В. А. Якубович в своих работах называл этот результат «частотной теоремой»[1].

Обозначим ${\displaystyle \Gamma }$ множество чисто мнимых чисел, ${\displaystyle \sigma (A)}$ — спектр матрицы ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle E_{n}}$ — единичная матрица размера ${\displaystyle n\times n}$, ${\displaystyle *}$ — эрмитово сопряжение. Пусть пара матриц ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ и ${\displaystyle B\in \mathbb {C} ^{n\times m}}$ управляема. Тогда для любой эрмитовой матрицы ${\displaystyle G\in \mathbb {C} ^{(n+m)\times (n+m)}}$ равносильны следующие утверждения:

• Выполнено частотное условие Попова, то есть для всех ${\displaystyle \lambda \in \Gamma \setminus \sigma (A)}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}(\lambda E_{n}-A)^{-1}B\\E_{m}\end{array}}\right)^{*}G\left({\begin{array}{c}(\lambda E_{n}-A)^{-1}B\\E_{m}\end{array}}\right)\geqslant 0;}$

• Существует эрмитова матрица ${\displaystyle H\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ такая, что

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}A^{*}H+HA&HB\\B^{*}H&0\end{array}}\right)-G\leqslant 0;}$

• Существует решение уравнения Лурье, то есть существуют матрицы ${\displaystyle H\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ и ${\displaystyle h\in \mathbb {C} ^{(n+m)\times m}}$ такие, что

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}A^{*}H+HA&HB\\B^{*}H&0\end{array}}\right)-G=-h^{*}h.}$

Если матрицы ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle G}$ вещественные, то и матрицы ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle h}$ могут быть выбраны вещественными. Для того чтобы выполнялись соответствующие равносильные условия со строгими неравенствами, достаточно потребовать, чтобы матрица ${\displaystyle A}$ была гурвицевой[1].

Используя дробно-линейное преобразование, можно показать, что лемма остаётся верной, если ${\displaystyle \Gamma }$ является произвольной прямой или окружностью на комплексной плоскости[1].

Аналогом леммы для случая дискретной системы управления служит лемма Калмана — Сегё[1].

Лемма тесно связана с такими вопросами теории управления, как разрешимость алгебраического уравнения Риккати и неущербность S-процедуры, используется в теории адаптивного управления и стохастических систем[1].

Связь леммы с задачами линейно-квадратичной оптимизации послужила основой для создания бесконечномерных вариантов леммы, которые впоследствии стали находить применение при исследовании систем управления, описываемых различными уравнениями в частных производных[1].

Обобщение леммы на случай упорядоченных полей основывается на решении 17-й проблемы Гильберта[3].

Лемма была впервые сформулирована и доказана В. А. Якубовичем в 1962 году[4] для случая строгого частотного неравенства. Случай нестрогого частотного неравенства и его связь с разрешимостью уравнений Лурье были рассмотрены в 1963 году Р. Калманом[5]. В обеих статьях рассматривались системы со скалярным входом. Ограничение на размерность управления было снято в 1964 году Ф. Р. Гантмахером и В. А. Якубовичем[6] и, независимо, В. М. Поповым[7].