Бесконечномерное пространство

Линейное векторное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа ${\displaystyle N>0}$ в нем найдется линейно независимая система, состоящая из ${\displaystyle N}$ векторов[2][3].

Для бесконечномерного пространства существуют различные определения базиса. Так, например, базис Гамеля определяется, как множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации единственным образом.

Для топологических векторных пространств можно определить базис Шаудера. Система элементов ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$ образует базис Шаудера пространства ${\displaystyle E}$, если каждый элемент ${\displaystyle x\in E}$ представим единственным образом в виде сходящегося ряда ${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k}}$[4]. Базис Шаудера существует не всегда.

• Линейное пространство непрерывных на данном промежутке функций[2].
• Гильбертово пространство, образованное бесконечной последовательностью чисел ${\displaystyle x=(\xi _{1},...,\xi _{k},...)}$ со сходящейся суммой квадратов ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}^{2}<\infty }$[5].
• Множество всех многочленов[6].
• Фазовое пространство в статистической физике является почти бесконечномерным.[7]
• Пространство квадратично-суммируемых последовательностей

• Бесконечномерное пространство не изоморфно никакому конечномерному[8].

• Конечномерное пространство

• Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М.: Физматлит, 2004. — 464 с. — ISBN 5-9221-0386-5.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.
• под ред. Крейн С.Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1964. — 424 с. — 17 500 экз.