Когомологии Дольбо

Когомологии Дольбо — аналогом когомологий де Рама для комплексных многообразий. Названны в честь Пьера Дольбо.

Пусть M — комплексное многообразие. Тогда группы когомологий Дольбо $H^{p,q}(M,\mathbb {C} )$ зависят от пары целых чисел p и q и строятся из комплексных дифференциальных форм степени (p, q).

Построение групп когомологий

Пусть Ω^{p, q} — векторное расслоение комплексных дифференциальных форм степени (p,q) и

{\bar {\partial }}:\Gamma (\Omega ^{p,q})\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1})

— оператор Дольбо. Напомним, что

{\bar {\partial }}^{2}=0.

Этот оператор можно использовать для определения когомологий. В частности, определите когомологии как фактор-пространство

H^{p,q}(M,\mathbb {C} )=\ker \left({\bar {\partial }}:\Gamma (\Omega ^{p,q},M)\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1},M)\right)/{\bar {\partial }}\Gamma (\Omega ^{p,q-1}).

Теорема Дольбо

Теорема Дольбо является комплексным аналогом теоремы де Рама. Она утвержадет, что когомологии Дольбо изоморфны когомологиям пучка пучка голоморфных дифференциальных форм. То есть

H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})

где $\Omega ^{p}$ пучок голоморфных p-форм на M.

Литература

Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии: Пер. с англ.. — М.: Мир, 1982.
Dolbeault, Pierre (1953). “Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes”. Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 236: 175—277.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.