Факторпространство по подпространству

Отображение ${\displaystyle \varphi \colon X\mapsto X/X_{0}}$, сопоставляющее каждому элементу из ${\displaystyle X}$ класс эквивалентности, в котором он лежит, называется факторотображением.

Факторотображение даёт возможность определить на ${\displaystyle X/X_{0}}$ векторную структуру, задав операции ${\displaystyle \langle +,\;\cdot \rangle }$ следующим образом:

• ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=\varphi (\varphi ^{-1}(x_{1})+\varphi ^{-1}(x_{2}))\qquad \forall x_{1},\;x_{2}\in X/X_{0};}$
• ${\displaystyle \lambda x=\varphi (\lambda \varphi ^{-1}(x))\qquad \forall x\in X/X_{0},\;\lambda \in \mathbb {F} .}$

Факторотображение на таком пространстве линейно.

Свойства факторотображения:

1. ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {L}}(X,\;X/X_{0});}$
2. ${\displaystyle \mathrm {im} \,{\varphi }=X/X_{0}}$, то есть ${\displaystyle \varphi }$ — эпиморфизм;
3. ${\displaystyle \ker \varphi =X_{0}}$, что эквивалентно ${\displaystyle \varphi ^{-1}(0)=X_{0}}$.

Понятие факторпространства по подпространству позволяет определить:

• кообраз линейного отображения ${\displaystyle T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\colon \mathrm {coim} \,T=X/\ker T}$;
• коядро линейного отображения ${\displaystyle T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\colon \mathrm {coker} \,T=Y/\mathrm {im} \,T}$, при условии что ${\displaystyle \mathrm {im} \,T\in \mathrm {Lat} (Y)}$.
• коразмерность ${\displaystyle X_{0}\in \mathrm {Lat} (X)\colon \mathrm {codim} \,X_{0}=\dim X/X_{0}}$;
• Фактор-полунорма в факторпространстве, порождённая полунормой ${\displaystyle p\colon \forall w\in X/X_{0}\quad p_{X/X_{0}}(w)=\inf p(\varphi ^{-1}(w))}$.

• Существование снижения на кообраз:

${\displaystyle \forall T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\,\exists {!}\,T_{c}\in {\mathcal {L}}(\mathrm {coim} \,T,\;Y)\colon T=T_{c}\varphi ,\;\ker T_{c}=\{0\}.}$

• Теоремы об изоморфизме:

${\displaystyle \mathrm {coim} \,T\simeq \mathrm {im} \,T}$

${\displaystyle X_{0},\,X_{1}\in \mathrm {Lat} (X):X=X_{0}\oplus X_{1}\Rightarrow X/X_{0}\simeq X_{1};\,X/X_{1}\simeq X_{0}}$

• Теорема о непрерывности факторотображения:

${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {B}}(X,\;X/X_{0}).}$

• ${\displaystyle \varphi ^{-1}(\ker p_{X/X_{0}})=\mathrm {cl} \,X_{0}.}$
• ${\displaystyle (X/X_{0},\;p_{X/X_{0}})}$ — хаусдорфово ${\displaystyle \Leftrightarrow X_{0}=\mathrm {cl} \,X_{0}}$.

Хаусдорфовость полунормированного пространства, как известно, позволяет^{[уточнить]} определить на нём норму, а по норме и метрику.

• Признак полноты ${\displaystyle X\colon X_{0},\;X/X_{0}}$ — полны ${\displaystyle \Rightarrow X}$ — полно.
• ${\displaystyle X_{0}}$ — гиперплоскость ${\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm {codim} \,X_{0}=1}$.
• Неравенства для подчинённой фактор-полунормы:

${\displaystyle \forall w\in X/X_{0},\;\forall x\in \varphi ^{-1}(w)\;p_{X/X_{0}}(w)\leqslant p(x);}$

${\displaystyle \forall w\in X/X_{0},\;\forall \varepsilon >0\;\exists x\in \varphi ^{-1}(w)\colon p(x)\leqslant (1+\varepsilon )p_{X/X_{0}}(w).}$

• Лемма о снежинке.

• Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 200. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9..