Комплексная дифференциальная форма

Мы начнём с случая с 1-форм. Разложим комплексные координаты на их вещественную и мнимую части: z ^j =x ^j +iy ^j для каждого j. Положим

${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j}.}$

Отсюда видно, что любая дифференциальная 1-форма с комплексными коэффициентами может быть однозначно записана в виде суммы

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).}$

Пусть Ω^1,0 — пространство комплексных дифференциальных форм, содержащих только ${\displaystyle dz}$s, а Ω ^0,1 — пространство форм, содержащих только ${\displaystyle d{\bar {z}}}$. Условия Коши — Римана дают, что пространства Ω ^1,0 и Ω ^0,1 устойчивы при голоморфных изменениях координат. То есть, для других координат w _i, элементы Ω^1,0 преобразуются тензорно, как и элементы Ω ^0,1. Таким образом, пространства Ω ^0,1 и Ω ^1,0 определяют комплексные векторные расслоения на комплексном многообразии.

Внешнее произведение комплексных дифференциальных форм определяется так же, как и для вещественных форм. Пусть p и q — пара неотрицательных целых чисел ≤ n. Пространство Ω^p,q (p, q)-форм определяется путем взятия линейных комбинаций клиновых произведений p элементов из Ω ^1,0 и q элементов из Ω ^0,1. Как и в случае с 1-формами, они устойчивы при голоморфных изменениях координат и поэтому определяют векторные расслоения.

Если E ^k — пространство всех комплексных дифференциальных форм полной степени k, то каждый элемент E^k может быть выражен единственным способом в виде линейной комбинации элементов из числа пространств Ω ^{p, q} с p + q =k. То есть, существует прямое разложение суммы

${\displaystyle E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.}$

Поскольку это разложение прямой суммы устойчиво при голоморфных изменениях координат, оно также определяет разложение векторного расслоения.

В частности, для каждого k и каждого p и q с p + q =k существует каноническая проекция векторных расслоений

${\displaystyle \pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.}$

Обычная внешняя производная определяет отображение сечений ${\displaystyle d:E^{r}\to E^{r+1}}$. Используя d и проекции, определенные в предыдущем подразделе, можно определить операторы Дольбо:

${\displaystyle \partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}}$

Опишем эти операторы в локальных координатах. Пусть

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}}$

где I и J - мультииндексы. Тогда

${\displaystyle \partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.}$

Заметим, что

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.}$

Эти операторы и их свойства используются при определении когомологий Дольбо и других аспектов теории Ходжа.

Для каждого p голоморфная p-форма является голоморфным сечением расслоения Ω^p,0. Таким образом, в локальных координатах голоморфная p-форма может быть записана в виде

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}}$

где ${\displaystyle f_{I}}$являются голоморфными функциями. Эквивалентно и из-за независимости комплексного сопряженного, (p, 0)-форма α голоморфна тогда и только тогда, когда

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0.}$

Пучок голоморфных p-форм часто пишется Ω^p, хотя иногда это может привести к путанице, поэтому многие авторы склонны использовать другие обозначения.