Комплексная дифференциальная форма

Комплексная дифференциальная формадифференциальная форма с комплексными коэффициентами, обычно рассматривается на комплексных многообразиях.

Определения

Предположим, что Mкомплексное многообразие комплексной размерности n. Затем существует локальная система координат, состоящая из n комплекснозначных функций z 1,...,z n, таких, что переходы координат от одного участка к другому являются голоморфными функциями этих переменных. Пространство комплексных форм имеет богатую структуру, в основном зависящую от того факта, что эти функции перехода являются голоморфными, а не просто гладкими.

Один-формы

Мы начнём с случая с 1-форм. Разложим комплексные координаты на их вещественную и мнимую части: z j =x j +iy j для каждого j. Положим

Отсюда видно, что любая дифференциальная 1-форма с комплексными коэффициентами может быть однозначно записана в виде суммы

Пусть Ω1,0 — пространство комплексных дифференциальных форм, содержащих только s, а Ω 0,1 — пространство форм, содержащих только . Условия Коши — Римана дают, что пространства Ω 1,0 и Ω 0,1 устойчивы при голоморфных изменениях координат. То есть, для других координат w i, элементы Ω1,0 преобразуются тензорно, как и элементы Ω 0,1. Таким образом, пространства Ω 0,1 и Ω 1,0 определяют комплексные векторные расслоения на комплексном многообразии.

Высшие степени

Внешнее произведение комплексных дифференциальных форм определяется так же, как и для вещественных форм. Пусть p и q — пара неотрицательных целых чисел n. Пространство Ωp,q (p, q)-форм определяется путем взятия линейных комбинаций клиновых произведений p элементов из Ω 1,0 и q элементов из Ω 0,1. Как и в случае с 1-формами, они устойчивы при голоморфных изменениях координат и поэтому определяют векторные расслоения.

Если E k — пространство всех комплексных дифференциальных форм полной степени k, то каждый элемент Ek может быть выражен единственным способом в виде линейной комбинации элементов из числа пространств Ω p, q с p + q =k. То есть, существует прямое разложение суммы

Поскольку это разложение прямой суммы устойчиво при голоморфных изменениях координат, оно также определяет разложение векторного расслоения.

В частности, для каждого k и каждого p и q с p + q =k существует каноническая проекция векторных расслоений

Операторы Дольбо

Обычная внешняя производная определяет отображение сечений . Используя d и проекции, определенные в предыдущем подразделе, можно определить операторы Дольбо:

Опишем эти операторы в локальных координатах. Пусть

где I и J - мультииндексы. Тогда

Заметим, что

Эти операторы и их свойства используются при определении когомологий Дольбо и других аспектов теории Ходжа.

Голоморфные формы

Для каждого p голоморфная p-форма является голоморфным сечением расслоения Ωp,0. Таким образом, в локальных координатах голоморфная p-форма может быть записана в виде

где являются голоморфными функциями. Эквивалентно и из-за независимости комплексного сопряженного, (p, 0)-форма α голоморфна тогда и только тогда, когда

Пучок голоморфных p-форм часто пишется Ωp, хотя иногда это может привести к путанице, поэтому многие авторы склонны использовать другие обозначения.

См. также

Литература

  • Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии: Пер. с англ.. М.: Мир, 1982.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.