Квантовый эффект Холла в графене

Уровни Ландау в графене описываются уравнением Дирака для графена с учётом магнитного поля, которое можно записать в виде[5]

${\displaystyle [{\vec {\sigma }}\cdot (i\hbar v_{F}{\vec {\nabla }}+e{\vec {A}}/c)]\psi (x,y)=\varepsilon \psi (x,y)}$

где использована калибровка Ландау для векторного потенциала ${\displaystyle {\vec {A}}=(-By,0)}$, двумерный градиент равен ${\displaystyle {\vec {\nabla }}=({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}})}$, а вектор ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$ составлен из матриц Паули ${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2})}$. В матричном виде уравнение запишется в виде

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-i\hbar v{\frac {\partial }{\partial x}}-\hbar v{\frac {\partial }{\partial y}}+eBy\\-i\hbar v_{F}{\frac {\partial }{\partial x}}+\hbar v{\frac {\partial }{\partial y}}+eBy&0\end{pmatrix}}\psi (x,y)=\varepsilon \psi (x,y).}$

Здесь можно легко разделить переменные и в итоге прийти к спектру для релятивистских уровней Ландау

${\displaystyle \varepsilon _{n}=\pm \hbar {\tilde {\omega _{c}}}{\sqrt {n}}=\pm {\sqrt {\hbar v_{F}^{2}eB2n/c}},}$

где ${\displaystyle n=0,\,1,\,2,...}$, «циклотронная частота» равна ${\displaystyle {\tilde {\omega _{c}}}={\sqrt {2}}{\frac {v_{F}}{l_{B}}}}$, магнитная длина ${\displaystyle l_{B}={\sqrt {\frac {\hbar c}{eB}}}.}$

Впервые необычный (англ. unconventional) квантовый эффект Холла наблюдали в работах[3][4], где было показано, что носители в графене действительно обладают нулевой эффективной массой, поскольку положения плато на зависимости недиагональной компоненты тензора проводимости соответствовали полуцелым значениям холловской проводимости ${\displaystyle \nu =\pm (|n|+1/2)}$ в единицах ${\displaystyle 4e^{2}/h}$ (множитель 4 появляется из-за четырёхкратного вырождения энергии), то есть

${\displaystyle \sigma _{xy}=\pm {\frac {4e^{2}}{h}}\left(|n|+{\frac {1}{2}}\right)}$.

Это квантование согласуется с теорией квантового эффекта Холла для дираковских безмассовых фермионов[1]. Сравнение целочисленного квантового эффекта Холла в обычной двумерной системе и графене смотрите на рисунке 1. Здесь показаны уширенные уровни Ландау для электронов (выделение красным цветом) и для дырок (синий цвет). Если уровень Ферми находится между уровнями Ландау, то на зависимости холловской проводимости ${\displaystyle \sigma _{xy}}$ наблюдается ряд плато. Эта зависимость отличается от обычных двумерных систем (аналогом может служить двумерный электронный газ в кремнии, который является двухдолинным полупроводником в плоскостях эквивалентных {100}, то есть тоже обладает четырёхкратным вырождением уровней Ландау и холловские плато наблюдаются при ${\displaystyle \nu =4|n|}$).

Квантовый эффект Холла (КЭХ) может использоваться как эталон сопротивления, потому что численное значение наблюдаемого в графене плато равное ${\displaystyle h/2e^{2}}$ выполняется с хорошей точностью, хотя качество образцов уступает высокоподвижному ДЭГ в GaAs, и, соответственно, точности квантования. Преимущество КЭХ в графене в том, что он наблюдается при комнатной температуре[6] (в магнитных полях свыше 20 Т). Основное ограничение на наблюдение КЭХ при комнатной температуре накладывает не само размытие распределения Ферми-Дирака, а рассеяние носителей на примесях, что приводит к уширению уровней Ландау.

Рис. 1. a) Квантовый эффект Холла в обычной двумерной системе. b) Квантовый эффект Холла в графене. ${\displaystyle g=g_{s}g_{v}=4}$ — вырождение спектра

• Квантовый эффект Холла