Интеграл столкновений

Интеграл столкновений — выражение, составляющее правую часть кинетического уравнения Больцмана, которое определяет скорость изменения функции распределения частиц ${\displaystyle f\left({\vec {r}},{\vec {p}},t\right)}$ вследствие столкновений между ними:

${\displaystyle I(f,f_{1})=\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{\mathrm {coll} }.}$

Иногда интеграл столкновений называют оператором столкновений и обозначают ${\displaystyle \mathrm {St} f}$ (от немецкого слова der Stoß — удар).

Если рассматривать только упругие парные столкновения в газе частиц одного сорта, то интеграл столкновений будет иметь вид:

${\displaystyle I(f,f_{1})=\int {\left(f^{\prime }f_{1}^{\prime }-ff_{1}\right)\cdot u\cdot \sigma (u,\theta )d\Omega d^{3}p_{1}},}$

или

${\displaystyle I(f,f_{1})=\int \omega \cdot (f^{\prime }f_{1}^{\prime }-ff_{1})\,d^{3}p_{1}d^{3}p^{\prime }d^{3}p_{1}^{\prime },}$

где

• ${\displaystyle f=f\left({\vec {r}},{\vec {p}},t\right),~f_{1}=f\left({\vec {r}},{\vec {p}}_{1},t\right)}$ — функции распределения частиц с импульсами ${\displaystyle {\vec {p}},~{\vec {p}}_{1}}$ до столкновения;
• ${\displaystyle f^{\prime }=f\left({\vec {r}},{\vec {p}}^{\prime },t\right),~f_{1}^{\prime }=f\left({\vec {r}},{\vec {p}}_{1}^{\prime },t\right)}$ — функции распределения частиц с импульсами ${\displaystyle {\vec {p}}^{\prime },~{\vec {p}}_{1}^{\prime }}$ после столкновения;
• ${\displaystyle \sigma (u,\theta )}$ — дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц в телесный угол ${\displaystyle d\Omega }$;
• ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {v}}-{\vec {v}}_{1}}$ — относительная скорость сталкивающихся частиц;
• ${\displaystyle \theta }$ — угол между относительной скоростью и линией центров;
• ${\displaystyle \omega =\mathrm {prob} ({\vec {p}}\,{\vec {p}}_{1}|{\vec {p}}^{\prime }\,{\vec {p}}_{1}^{\prime })}$ — плотность вероятности столкновения.

${\displaystyle \omega \,d^{3}p^{\prime }d^{3}p_{1}^{\prime }=u\,d\sigma ,}$

${\displaystyle d\sigma =\sigma (u,\theta )\,d\Omega }$.

Эффективное сечение зависит от вида потенциала взаимодействия двух частиц. В частности, для жёстких упругих сфер радиуса ${\displaystyle R}$:

${\displaystyle \sigma (u,\theta )=4R^{2}\cos \theta }$.

Интеграл столкновений представляет собой разность мощностей источников и стоков частиц с данными импульсами:

${\displaystyle I(f,f_{1})=q_{+}-q_{-},}$

где

• ${\displaystyle q_{+}=\int \omega \cdot f^{\prime }f_{1}^{\prime }\,d^{3}p_{1}d^{3}p^{\prime }d^{3}p_{1}^{\prime }}$ — мощность источников частиц, то есть число молекул с определённым импульсом в данной точке, появляющихся за единицу времени в единице объёма и отнесённое к единичному интервалу импульсов;
• ${\displaystyle q_{-}=\int \omega \cdot ff_{1}\,d^{3}p_{1}d^{3}p^{\prime }d^{3}p_{1}^{\prime }}$ — мощность стоков частиц, то есть число молекул с определённым импульсом в данной точке, исчезающих за единицу времени в единице объёма и отнесённое к единичному интервалу импульсов.

В случае, если для рассматриваемых молекул существенны квантовые эффекты, то интеграл столкновений принимает вид:

${\displaystyle I(f,f_{1})=\int \omega \cdot \left(f^{\prime }f_{1}^{\prime }(1\pm f)(1\pm f_{1})-ff_{1}(1\pm f^{\prime })(1\pm f_{1}^{\prime })\right)\,d^{3}p_{1}d^{3}p^{\prime }d^{3}p_{1}^{\prime },}$

где знак «+» соответствует бозонам, а знак «−» — фермионам.