Дюрация

Дюрация для безопционных облигаций рассчитывается по формуле средневзвешенной следующим образом:

${\displaystyle D={\overline {T}}={\frac {\sum _{i}\ PV_{i}\cdot t_{i}}{\sum _{i}PV_{i}}}={\frac {\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}\cdot t_{i}}{\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}}}}$

или

${\displaystyle D={\overline {T}}={\frac {\sum _{i}{CF_{i}}\cdot {e}^{-{r_{c}}{t_{i}}}\cdot t_{i}}{\sum _{i}{CF_{i}}\cdot {e}^{-{r_{c}}{t_{i}}}}},}$

где:

${\displaystyle CF_{i}}$ — ${\displaystyle i}$-й платёж;

${\displaystyle r}$ — ставка дисконтирования, доходность альтернативного вложения за единицу времени (год, квартал и т. д.);

${\displaystyle r_{c}}$ — ставка дисконтирования при непрерывном начислении процентов;

${\displaystyle PV_{i}}$ — дисконтированная стоимость i-го платежа;

${\displaystyle t_{i}}$ — момент времени i-го платежа;

В знаменателе этой формулы находится оценка текущей стоимости денежного потока при данной ставке дисконтирования. Если денежный поток порождается финансовым инструментом, имеющим рыночную (или иную) оценку ${\displaystyle P}$ текущей цены, то в качестве ставки дисконтирования в данном случае используют собственную внутреннюю доходность этого инструмента (для облигаций — доходность к погашению). Эта ставка определяется из равенства

${\displaystyle P=PV(r)=\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}.}$

Предполагается, что рынок эффективно определяет необходимую ставку дисконтирования и отражает требуемую доходность инструментов с аналогичным уровнем рисков.

Если рассматривать дисконтированную стоимость денежного потока как функцию процентной ставки, то можно показать, что дюрация денежного потока равна взятой с обратным знаком эластичности (логарифмической производной) дисконтированной стоимости денежного потока по процентной ставке (или, что то же самое, по ${\displaystyle 1+r}$), то есть

${\displaystyle D=-{\frac {d\ln PV}{d\ln(1+r)}}=-{\frac {dPV/PV}{d(1+r)/(1+r)}}=-{\frac {1+r}{PV}}{\frac {dPV}{dr}}.}$

Следовательно,

${\displaystyle dPV/PV=-Dd\ln(1+r)=-Ddr/(1+r).}$

При малых изменениях ставок дифференциалы можно заменить просто изменениями:

${\displaystyle \delta PV=\Delta PV/PV\approx =-D\delta r=-D\Delta r/(1+r).}$

Таким образом дюрация позволяет упрощенно оценить степень зависимости рыночной цены инструмента от изменения процентной ставки. Чем больше дюрация инструмента, тем значительнее изменения её рыночной стоимости при изменении процентных ставок, то есть тем выше процентный риск.

Если в приведенном выше приближенном равенстве использовать так называемую модифицированную дюрацию, равную

${\displaystyle MD=-{\frac {d\ln PV}{dr}}=D/(1+r),}$

оценка чувствительности к изменению процентной ставки упрощается:

${\displaystyle \delta PV\approx -MD\cdot \Delta r.}$

При оценке возможного изменения текущей стоимости денежного потока с помощью (модифицированной) дюрации следует учесть приблизительный характер этой оценки. Причём кроме количественной неточности имеется также качественное различие между истинной зависимостью и линеаризированной с помощью дюрации или модифицированной дюрации: одинаковые положительные и отрицательные изменения процентной ставки одинаково по абсолютной величине влияют на изменение цены. В реальности это не так — цена асимметрично изменяется при увеличении и снижении ставок, а именно снижение ставки приводит к большему росту цены, чем снижение цены при повышении ставки на ту же абсолютную величину. С целью уточнения (как количественного, так и качественного) наряду с дюрацией используют также так называемую выпуклость денежного потока, представляющую собой поправку второго порядка. Эта поправка к изменению цены зависит от квадрата изменения ставки (то есть не зависит от знака), поэтому при росте ставок она уменьшает степень снижения цены, предсказываемую дюрацией, а при снижении ставки — увеличивает рост, оцененный по дюрации. Тем самым учитывается и асимметричность и оценка уточняется количественно.

Другой вариант более точной оценки основан на том, что качественная неточность связана не только (и не столько) с линеаризацией, но и с заменой изменений логарифмов на обычные темпы прироста. Если использовать сами логарифмы, то оценки качественно будут более адекватны истинной зависимости (хотя количественная неточность будет также иметь место):

${\displaystyle \Delta \ln PV=-D\Delta \ln(1+r).}$

Из этого соотношения выводится следующая более истинная примерная зависимость изменения текущей стоимости:

${\displaystyle \delta PV\approx (1+\Delta r/(1+r))^{-D}-1.}$

В этой зависимости асимметричность естественно учтена (такой способ расчета более точный, но несколько менее удобен из-за нелинейности зависимости).

Учитывая последнее вышеприведенное приближенное равенство можно дать дюрации ещё одну интерпретацию. Рассмотрим как примерно изменится текущая стоимость потока, если ставка процента уменьшится до нуля (${\displaystyle \Delta r=0-r=-r}$):

${\displaystyle \delta PV\approx (1+(-r)/(1+r))^{-D}-1=(1+r)^{D}-1.}$

Следовательно

${\displaystyle P(0)\approx P(r)(1+r)^{D}.}$

Очевидно, что ${\displaystyle P(0)=\sum _{i}CF_{i}}$ — суммарная величина денежного потока. Таким образом, дюрацию (при данной ставке) можно интерпретировать также как примерный срок, на который нужно вложить сумму ${\displaystyle P(r)}$ под ставку ${\displaystyle r}$, чтобы в конце этого срока получить сумму равную суммарной величине денежного потока. Эта интерпретация тем точнее, чем меньше ставка.

Можно показать, что дюрация аннуитета, ограниченного сроком T, равна следующей величине:

${\displaystyle D={\frac {1+r}{r}}-{\frac {T}{(1+r)^{T}-1}}.}$

Модифицированную дюрацию можно получить разделением на ${\displaystyle 1+r}$.

Здесь в формуле подразумевается эффективная ставка за интервал аннуитета и срок и дюрацию также в интервалах аннуитета. Если использовать годовую эффективную ставку, то для дюрации в годах формула будет такой

${\displaystyle D=t\times {\frac {(1+r)^{t}}{(1+r)^{t}-1}}-{\frac {T}{(1+r)^{T}-1}},}$

где ${\displaystyle t}$ — длительность интервала аннуитета в годах (доля года), ${\displaystyle T}$ — срок аннуитета в годах, ${\displaystyle r}$ — годовая эффективная ставка. При t = 1 получаем прежнюю формулу.

Для вечного аннуитета формулу дюрации можно определить как предел приведенной формулы при ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ (второе слагаемое в этом случае будет стремиться к нулю). Можно также вывести формулу непосредственно. Приведенная стоимость вечного аннуитета равна ${\displaystyle PV=A/r}$. Воспользуемся формулой через производную. Производная этой функции по ${\displaystyle r}$, очевидно равна ${\displaystyle -A/r^{2}}$. Умножая эту величину на ${\displaystyle (1+r)}$ и разделив на ${\displaystyle PV}$, получим окончательно формулу дюрации:

${\displaystyle D=(1+r)/r.}$

Модифицированная дюрация, очевидно равна в этом случае ${\displaystyle MD=1/r}$.

Для бескупонной облигации номиналом ${\displaystyle N}$ со сроком погашения ${\displaystyle t}$ текущая стоимость равна

${\displaystyle PV=N/(1+r)^{t}.}$

Она же совпадает с дисконтированной стоимостью единственного платежа, поэтому её дюрация просто равна сроку облигации:

${\displaystyle D=t.}$

В случае купонной облигации денежный поток состоит из купонных платежей и погашения номинала. При этом погашение номинала может быть частями (амортизация) и купонная ставка может, вообще говоря, изменяться в течение срока обращения облигации. Если величину купонов обозначить ${\displaystyle C_{i}}$, а погашения номинала ${\displaystyle N_{j}}$, то дюрация облигации будет равна

${\displaystyle D={\frac {\sum _{i=1}^{m}{\frac {C_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}t_{i}+\sum _{j=1}^{k}{\frac {N_{j}}{(1+r)^{t_{j}}}}t_{j}}{P}},}$

где ${\displaystyle P}$ — цена облигации (предполагается что в качестве ${\displaystyle r}$ используется доходность к погашению облигации, поэтому ${\displaystyle PV(r)=P}$).

Формула будет иметь точно такой же вид, если вместо величины купонов ${\displaystyle C_{i}}$ использовать соответствующие купонные ставки, вместо сумм погашений номинала ${\displaystyle N_{j}}$ — доли погашений номинала, а вместо цены облигации в денежном выражении ${\displaystyle P}$ использовать стандартную цену в процентах (долях) от номинала.

При прочих равных условиях, чем больше срок погашения и (или) ниже купонная ставка и (или) ниже доходность к погашению, тем больше дюрация облигации. При прочих равных условиях чем чаще выплачивается купон, тем меньше дюрация.

В простейшем случае постоянной купонной ставки и единовременного погашения номинала в конце срока для расчета дюрации можно использовать встроенную в Microsoft Office Excel 2007 функцию ДЛИТ.