Доменная стенка (магнетизм)

Причиной образования магнитных доменных стенок является конкуренция между обменным взаимодействием и магнитной анизотропией, которые стремятся увеличить и уменьшить толщину стенки соответственно[1]. Толщина доменной стенки оценивается по порядку величины как

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {\frac {A}{K}}}=a{\sqrt {\frac {H_{E}}{H_{A}}}},}$

где A — коэффициент неоднородного обменного взаимодействия, K — коэффициент магнитной анизотропии (здесь они записаны в таком виде, что плотность обменного взаимодействия и магнитной анизотропии зависят или от размерного вектора намагниченности, или от единичного вектора, сонаправленного ему), a — расстояние между магнитными атомами (типично около 0,5·10⁻⁷ см), ${\displaystyle H_{E}}$ — обменное поле (также называемое молекулярным полем Вейса, порядка 10⁷ Э), ${\displaystyle H_{A}}$ — поле анизотропии. Таким образом, толщину доменной стенки можно оценить как величину, лежащую в интервале 10—100 нм[2].

Доменные стенки Блоха (сверху) и Нееля (снизу) между доменами с противоположным направлением намагниченности (светло- и тёмно-серый цвета).

Классификация доменных стенок производится в зависимости от способа поворота вектора намагниченности внутри доменной стенки, а также от симметрии кристалла. К первому типу относятся доменные стенки типа Блоха и Нееля. Стенки второго типа имеют в названии указание угла, на который изменяется направление намагниченности в соседних доменах. Согласно второй классификации стенки Блоха и Нееля являются 180°-ми, то есть, соседние домены имеют антипараллельные векторы намагниченности[3].

Стенки с редуцированным углом

Образование четырёх 90°-ных доменов в образце квадратного сечения

В материалах с многоосной анизотропией встречаются доменные стенки, в которых угол поворота намагниченности меньше 180°. К этому же эффекту приводит приложение поля перпендикулярно легкой оси материала с одноосной анизотропией[6].

Другие виды доменных стенок

(а) Стенка Нееля. (б) Стенка Блоха. (c) Cross-tie стенка.

В ферромагнетике, характеризующимся константой ${\displaystyle A}$ обменного взаимодействия и константой ${\displaystyle k}$ одноосной магнитной анизотропии (ось легкого намагничивания считаем направленной перпендикулярно поверхности образца), одномерная 180-градусная доменная граница может быть описана аналитически. Как уже было отмечено, структура доменной стенки определяется конкуренцией магнитной анизотропии и обменного взаимодействия. Объёмные плотности энергии обменного взаимодействия и энергии магнитной анизотропии вводятся следующим образом (для кубического кристалла)[8][9]:

${\displaystyle w_{e}=A((\nabla m_{x})^{2}+(\nabla m_{y})^{2}+(\nabla m_{z})^{2})\,;}$

${\displaystyle w_{a}=k\sin ^{2}(\alpha )\,,}$

где ${\displaystyle m_{x},m_{y},m_{z}}$ — компоненты нормированного на единицу вектора намагниченности ${\displaystyle {\bf {m}}}$, ${\displaystyle \alpha }$ — угол между вектором намагниченности и осью легкого намагничивания.

Для того, чтобы описать доменную стенку Нееля следует также ввести объемную плотность магнитостатической энергии ${\displaystyle w_{M}}$. Пусть ось ${\displaystyle y}$ декартовой системы координат направлена перпендикулярно плоскости доменной границы, тогда ${\displaystyle w_{M}=2\pi M_{y}^{2}}$, где ${\displaystyle M_{y}}$ — нормальная компонента ненормированного вектора намагниченности к плоскости доменной границы. Поскольку модуль вектора намагниченности в рамках микромагнитной теории считается постоянным, то независимыми компонентами этого вектора являются две из трех. Поэтому удобно перейти к представлению компонент вектора намагниченности через углы сферической системы координат[9]:

${\displaystyle m_{x}=\sin(\theta )\cos(\phi )\,;}$

${\displaystyle m_{y}=\sin(\theta )\sin(\phi )\,;}$

${\displaystyle m_{x}=\cos(\theta )\,,}$

где ${\displaystyle \theta ,\phi }$ — полярный и азимутальный углы соответственно. Для того, чтобы компоненты вектора намагниченности были гладкими функциями ${\displaystyle y}$, необходимо, чтобы ${\displaystyle \theta ,\phi }$ сами по себе были гладкими функциями ${\displaystyle y}$. Таким образом, мы предполагаем, что основная информация о структуре доменной стенки содержится в зависимостях ${\displaystyle \theta (y),\phi (y)}$.

В случае одномерной доменной границы, плоскость которой перпендикулярна оси ${\displaystyle y}$, объемная плотность энергии выглядит следующим образом[10]:

${\displaystyle w=w_{e}+w_{a}+w_{M}=A\left(\left({\frac {d\theta }{dy}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {d\phi }{dy}}\right)^{2}\right)+k\sin ^{2}(\theta )+2\pi M^{2}\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}(\phi )\,.}$

Далее будем считать ${\displaystyle \phi }$ постоянным относительно ${\displaystyle y}$. В таком случае:

${\displaystyle w=A\left({\frac {d\theta }{dy}}\right)^{2}+k\sin ^{2}(\theta )+2\pi M^{2}\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}(\phi )\,.}$

Поскольку полная энергия ферромагнетика задается через интеграл от ${\displaystyle w}$ по объёму этого ферромагнетика (то есть, через некоторый функционал, зависящий от ${\displaystyle \theta (y),\phi (y)}$), разумно использовать уравнения Эйлера — Лагранжа как уравнения, описывающие такие функции ${\displaystyle \theta (y),\phi (y)}$, на которых реализуется минимум полной энергии ферромагнетика. Для указанной плотности энергии ${\displaystyle w}$ уравнение Эйлера — Лагранжа имеет вид:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{du^{2}}}=\sin(\theta )\cos(\theta )\,,}$

где ${\displaystyle u=y/\Delta ,\Delta ^{2}=A/(k+2\pi M^{2}\sin ^{2}(\phi ))}$[11]. Данное уравнение является нелинейным, поиск его решений является довольно трудной задачей. Поэтому воспользуемся другим путем. Отнесемся к ${\displaystyle w(y)}$ как к функции Лагранжа, не зависящей от переменной интегрирования (в данном случае ${\displaystyle y}$). Поскольку функция Лагранжа не зависит явно от ${\displaystyle y}$, то интегралом движения является обобщенная энергия ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle E=\left({\frac {d\theta }{du}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\,.}$

Поскольку интерес представляет переход от одного домена к другому, локализованный на малых по сравнению с размером домена масштабах, константу ${\displaystyle E}$ можно положить равной нулю. Действительно, мы предполагаем выполнение следующих условий:

${\displaystyle y\to \infty$ :\theta \to (0,\pi ),{\frac {d\theta }{du}}\to 0\,;}

${\displaystyle y\to -\infty$ :\theta \to (\pi ,0),{\frac {d\theta }{du}}\to 0\,.}

Таким образом, можно записать уравнение первой степени относительно ${\displaystyle \theta }$:

${\displaystyle {\frac {d\theta }{\sin(\theta )}}=\pm du\,.}$.

Решение этого уравнения имеет вид[12]:

${\displaystyle \theta (y)=\pm 2\arctan \left(\exp \left({\frac {\pm (y-y_{0})}{\Delta }}\right)\right)\,.}$

Конкретный выбор знаков зависит от выбора граничных условий.

Из приведенной зависимости ${\displaystyle \theta (y)}$ видно, что ${\displaystyle \Delta ={\sqrt {A/(k+2\pi M^{2}\sin ^{2}(\phi ))}}}$ играет роль ширины доменной границы, и что ширина доменной стенки Нееля (${\displaystyle \phi =\pi /2}$) меньше, чем ширина доменной стенки Блоха (${\displaystyle \phi =0}$).

• Магнетизм
• Микромагнетизм
• Уравнение Ландау — Лифшица (магнетизм)

• В. А. Боков. Физика магнетиков. — Учебное пособие для вузов. — Невский Диалект, 2002. — 272 с. — ISBN 5-7940-0118-6.