ДСМ-метод

Рассмотрим один шаг ДСМ-метода в его самом простом варианте.

• O — множество объектов,
• P — множество свойств объектов (целевых признаков),
• C — множество возможных причин свойств объектов (элементы структуры объектов),
• V — множество оценок. V = {+1, −1, 0, ${\displaystyle \tau }$}.

Имеется функция P: O→${\displaystyle 2^{C}}$, которая сопоставляет каждому объекту о подмножество фрагментов (элементов структуры), встречающихся в объекте о.

Введём функцию F: O×P→V, представляющую начальную ситуацию.

• F(o, p) = +1 — известно, что объект o обладает свойством p;
• F(o, p) = −1 — известно, что объект o не обладает свойством p;
• F(o, p) = 0 — есть аргументы как за, так и против того, что объект o обладает свойством p;
• F(o, p)=${\displaystyle \tau }$ — неизвестно, обладает ли объект o свойством p.

Функция F может быть представлена в виде матрицы:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{11}&\cdots &f_{1j}\\\vdots &\ddots &\vdots \\f_{i1}&\cdots &f_{ij}\end{bmatrix}}}$

Если f_ij = ${\displaystyle \tau }$, то говорят, что для пары (o_i, p_j) функция F(o_i, p_j) недоопределена. Задача ДСМ-метода состоит в том, чтобы с помощью формирования гипотез доопределить исходную матрицу.

Сформируем гипотезы о возможных причинах свойств. В результате получим функцию H: C×P→V.

• H(c, p) = +1 — c является возможной причиной наличия свойства p или (+)-гипотезой;

• H(c, p) = −1 — c является возможной причиной отсутствия свойства p или (-)-гипотезой;

• H(c, p) = 0 — есть аргументы как за то, что c является причиной наличия свойства p, так и за то, что c есть причина отсутствия этого свойства или (+)-гипотезой (противоречивой гипотезой);

• H(c, p) = ${\displaystyle \tau }$ — неизвестно, является ли c причиной наличия p или причиной отсутствия этого свойства.

Значения функции H для каждой пары (c, p) находятся с помощью правил правдоподобного вывода. Эти правила называются правилами первого рода. Сокращённое обозначение — PIR₁ (от Plausible Inference Rules). Правила первого рода можно рассматривать как функцию, использующую матрицу F для получения матрицы H, то есть
H = PIR₁(F).

Пусть p — некоторое свойство.
Объект o является:

• положительным примером или (+)-примером для p относительно исходной матрицы F, если F(o, p) = +1,
• отрицательным примером или (-)-примером для p относительно исходной матрицы F, если F(o, p) = −1,
• противоречивым примером или (0)-примером для p относительно исходной матрицы F, если F(o, p) = 0.

Через F ⁺[p], F ^-[p], F ⁰[p] будем обозначать множество всех положительных, отрицательных и противоречивых примеров для p относительно F, соответственно.

В качестве возможных причин наличия/отсутствия свойств объектов рассматриваются подмножества набора фрагментов С[1]. Множество С' ⊆ C удовлетворяет (+)-условию для p относительно F, если существует Ω ⊆ F⁺[p] такое, что:

1. ${\displaystyle C'=\bigcap _{o\in \Omega }P(o)}$, то есть каждый объект из Ω содержит все фрагменты из множества C', и не существует дополнительных фрагментов, принадлежащих ${\displaystyle P(o)}$ для всех ${\displaystyle o\in \Omega }$;
2. Ω содержит по крайней мере два элемента.

(-)- и (0)-условия — аналогично.

Через M⁺(F, c, p) будем обозначать тот факт, что c удовлетворяет (+)-условию для p относительно F .
Через M^-(F, c, p) — тот факт, что c удовлетворяет (-)-условию для p относительно F .
Через M⁰(F, c, p) — тот факт, что c удовлетворяет (0)-условию для p относительно F .

Теперь определим функцию H[2]. Положим:

${\displaystyle H(c,p)={\begin{cases}+1,&{\text{если}}M^{+}(F,c,p)\And \lnot M^{-}(F,c,p)\And \lnot M^{0}(F,c,p),\\-1,&{\text{если}}M^{-}(F,c,p)\And \lnot M^{+}(F,c,p)\And \lnot M^{0}(F,c,p),\\\quad 0,&{\text{если}}(M^{+}(F,c,p)\And M^{-}(F,c,p))\lor M^{0}(F,c,p),\\\quad \tau ,&{\text{если}}\lnot M^{+}(F,c,p)\And \lnot M^{-}(F,c,p)\And \lnot M^{0}(F,c,p).\end{cases}}}$

Иначе говоря, множество фрагментов C_i⊆C, доопределяется как

• возможная причина наличия свойства p, если оно вкладывается в два и более (+)-примера, не более чем в один (-)-пример) и не более чем в один (0)-пример;
• возможная причина отсутствия свойства p, если оно вкладывается в два и более (-)-примера, не более чем в один (+)-пример и не более чем в один (0)-пример.

Используя матрицу гипотез о возможных причинах, можно сформировать гипотезы о наличии или отсутствии свойства p у тех объектов из O, для которых изначально не было известно, обладают они этим свойством или нет, то есть для тех o${\displaystyle \in }$O, для которых F(o, p) = ${\displaystyle \tau }$.

В результате мы получим функцию F’: O×P→V. F’(o, p) = F(o, p), если F(o, p) ≠ ${\displaystyle \tau }$. Если же F(o, p) = ${\displaystyle \tau }$, то F’(o, p) может принимать любое значение из V:

• F’(o, p) = +1 — o возможно обладает свойством p,
• F’(o, p) = −1 — o возможно не обладает свойством p,
• F’(o, p) = 0 — есть аргументы как за, так и против того, что объект o обладает свойством p,
• F’(o, p) = ${\displaystyle \tau }$ — доопределить ячейку исходной матрицы F не удалось.

Значения функции F' находятся с помощью правил правдоподобного вывода. Эти правила называются правилами второго рода. Сокращённое обозначение — PIR₂. Правила второго рода можно рассматривать как функцию, использующую матрицы F и Н для получения матрицы F', то есть F' = PIR₂(F, H).

Пусть o — объект, p — свойство. Будем говорить, что объект o удовлетворяет

• (+)-условию для p относительно H (то есть возможно обладает свойством p), если существует такое c${\displaystyle \in }$C, что c⊆o и H(c, p) = +1.
• (-)-условию для p относительно H (то есть возможно не обладает свойством p), если существует такое c${\displaystyle \in }$C, что c⊆o и H(c, p) = −1.
• (0)-условию для p относительно H (то есть есть аргументы как за, так и против того, что о обладает свойством p), если существует такое c${\displaystyle \in }$C, что c⊆o и H(c, p) = 0.

Через ${\displaystyle \Pi }$⁺(H, o, p), ${\displaystyle \Pi }$^-(H, o, p), ${\displaystyle \Pi }$⁰(H, o, p) будем обозначать тот факт, что объект o для свойства p относительно H удовлетворяет (+)-условию, (-)-условию и 0-условию, соответственно. Положим: F'(o, p) = F(o, p), если F(o, p) ≠ ${\displaystyle \tau }$; в противном случае

${\displaystyle F'(o,p)={\begin{cases}+1,&{\text{если}}\Pi ^{+}(H,o,p)\And \lnot \Pi ^{-}(H,o,p)\And \lnot \Pi ^{0}(H,o,p),\\-1,&{\text{если}}\Pi ^{-}(H,o,p)\And \lnot \Pi ^{+}(H,o,p)\And \lnot \Pi ^{0}((H,o,p),\\\quad 0,&{\text{если}}(\Pi ^{+}(H,o,p)\And \Pi ^{-}(H,o,p))\lor \Pi ^{0}(H,o,p),\\\quad \tau ,&{\text{если}}\lnot \Pi ^{+}(H,o,p)\And \lnot \Pi ^{-}(H,o,p)\And \lnot \Pi ^{0}(H,o,p).\end{cases}}}$

Правила первого рода (процедура индукции) и правила второго рода (процедура аналогии) последовательно применяются до тех пор, пока в результате их работы порождается хотя бы одна новая гипотеза, то есть применение правил первого рода приводит к изменению матрицы гипотез о возможных причинах свойств объектов, а применение правил второго рода — к изменению матрицы гипотез о возможном наличии или отсутствии свойства p у объектов. При этом номер шага является показателем правдоподобия рассуждений.

Следующим шагом работы ДСМ-метода является проверка условия каузальной полноты. Проверка этого условия интерпретируется, как рассуждение по абдукции — условие выполняется, если полученные гипотезы объясняют исходные данные, то есть если гипотезы о возможных причинах свойств объектов, полученные в результате применения правил первого рода, могут объяснить наличие или отсутствие свойства p у объектов для которых было изначально (до применения процедур индукции и аналогии) известно, что они обладают или не обладают свойством p.

Цель проверки условия состоит в том, чтобы определить, можно ли принимать полученные в результате работы метода гипотезы. Если условие каузальной полноты не выполняется, необходимо изменить применяемую когнитивную технику (например, выбрать другой способ кодирования структуры объектов) или входной набор объектов (как правило, набор расширяется).

Здесь в качестве возможных причин наличия/отсутствия свойства p у объектов будем рассматривать некоторые непустые подмножества множества структурных фрагментов C. (+)-условию удовлетворяют множества:

• C₁ = {с₂, с₄}: Ω = {o₁, o₅};
• C₂ = {с₂, с₃, с₇}: Ω = {o₁, o₇};
• C₃ = {с₂}: Ω = {o₁, o₅, o₇};
• C₄ = {с₂, с₆}: Ω = {o₅, o₇}.

(-)-условию удовлетворяют множества:

• C₅ = {с₁, с₅, с₈, с₉}: Ω = {o₃, o₄};
• C₆ = {с₂, с₃, с₈, с₉}: Ω = {o₃, o₆};
• C₇ = {с₈, с₉}: Ω = {o₃, o₄, o₆};
• C₈ = {с₆, с₈, с₉}: Ω = {o₄, o₆};

Теперь необходимо выяснить, являются ли найденные множества возможными причинами наличия или отсутствия целевого свойства p у объектов, то есть определить функцию H для данного шага. Как говорилось ранее, правила определения данной функции могут иметь различный вид в зависимости от выбранной стратегии — с запретом (или без запрета) на контр-примеры.

Множество C_i${\displaystyle \subseteq }$C будем доопределять как

• возможную причину наличия свойства p, если C_i удовлетворяет (+)-условию для p, то есть вкладывается как подмножество в два и более (+)-примера и при этом не вкладывается ни в один (вкладывается не более чем в один) (-)-пример;
• возможную причину отсутствия свойства p, C_i удовлетворяет (-)-условию для p, то есть вкладывается как подмножество в два и более (-)-примера и при этом не вкладывается ни в один (вкладывается не более чем в один) (+)-пример;
• противоречивую гипотезу, если существуют как (+)-пример, так и (-)-пример, в который вкладывается C_i.

Анализируя наши данные, мы получаем две возможные причины наличия свойства p:

• C₁ = {с₂, с₄} и
• C₂ = {с₂, с₃, с₇}.

Множество фрагментов C₄ = {с₂, с₆} становится (+)-гипотезой или противоречивой гипотезой в зависимости от стратегии.

Все множества, удовлетворяющие (-)-условию для p, доопределяются как возможные причины отсутствия свойства p.

То есть,

• H (C₁, p) = +1,
• H (C₂, p) = +1,
• H (C₅, p) = −1,
• H (C₆, p) = −1,
• H (C₇, p) = −1,
• H (C₈, p) = −1,
• H (C₄, p) = +1' или H (C₄, p) = 0 в зависимости от выбранной стратегии.

Используем полученные на предыдущем шаге (+)- и (-)-гипотезы для определения ${\displaystyle \tau }$-примеров. В нашем случае такой пример всего один: o₂ {с₁, с₂, с₄, с₅, с₇}.

В него вкладывается одна возможная причина наличия свойства p (C₁ = {с₂, с₄}) и не вкладывается ни одной возможной причины отсутствия свойства p, поэтому в стратегии с запретом на контр-примеры мы доопределяем o₂ как (+)-пример[3].

К полученному на n-м шаге набору примеров опять применяются правила первого, а затем второго рода. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут доопределены все ${\displaystyle \tau }$-примеры.

Проверка каузальной полноты осуществляется, как говорилось ранее, при помощи абдуктивных рассуждений. Условие каузальной полноты выполняется, если в каждый исходный (+)-пример вкладывается хотя бы одна возможная причина наличия целевого свойства p, а в каждый (-)-пример — хотя бы одна возможная причина его отсутствия.

В нашем случае каждый исходный положительный и отрицательный пример является объяснённым.

Таким образом, мы получили следующие правдоподобные (а фактически — действительные) достаточные условия для того, чтобы вокруг выпуклого четырёхугольника, обладающего нетривиальной симметрией, можно было описать окружность:

1. имеется ось симметрии, которая не является диагональю,
2. имеется ось симметрии диагональ, и при этом имеется пара противолежащих прямых углов.