Группа комплексных отражений

• Симметрическая группа
• Диэдральная группа
• группы Кокстера и в частности
  • группы Вейля
  • Группы симметрий правильных многогранников.

Комплексное отражение конечномерного комплексного векторного пространства V — это элемент конечного порядка, фиксирующий точки гиперплоскости.

Группа комплексных отражений — это конечная подгруппа, порожденная комплексными отражениями.

• Группа комплексных отражений W называется неприводимой, если пространство не содержит собственных W-инвариантых  подпространств.
  • В этом случае размерность векторного пространства называется рангом W.

Любая группа комплексных отражений представляется как произведение неприводимых групп комплексных отражений, действующая на прямой сумме соответствующих пространств. Поэтому достаточно расклассифицировать неприводимые комплексные группы отражений.

Неприводимые группы комплексных отражений включают бесконечное семейство ${\displaystyle G(m,p,n)}$, зависящее от трёх положительных целых параметров с ${\displaystyle m\,\vdots \,p}$, и 34 исключительных групп.

Группа ${\displaystyle G(m,p,n)}$ имеет порядок ${\displaystyle m^{n}\cdot n!/p}$, является полупрямым произведением симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$, действующей перестановками на группе ${\displaystyle n}$-ок

${\displaystyle (\theta ^{a_{1}},\dots ,\theta ^{a_{n}}),}$

таких, что ${\displaystyle \theta }$ — примитивный корень ${\displaystyle m}$-ой степени из единицы и

${\displaystyle a_{1}+\dots +a_{n}\equiv 0{\pmod {p}}.}$

Группу ${\displaystyle G(m,p,n)}$ можно также описать как подгруппу индекса ${\displaystyle p}$ обобщенной симметрической группы ${\displaystyle S(m,n)}$.

Особые случаи ${\displaystyle G(m,p,n)}$:

• ${\displaystyle G(1,1,n)}$ является группой Кокстера A_n−1
• ${\displaystyle G(2,1,n)}$ является группой Кокстера B_n = C_n
• ${\displaystyle G(2,2,n)}$ является группой Кокстера D_n
• ${\displaystyle G(m,p,1)}$ циклическая группа порядка m/p.
• ${\displaystyle G(m,m,2)}$ является группой Кокстера I₂(m) (и группа Вейля G₂ при m = 6).
• Группа ${\displaystyle G(m,p,n)}$ действует неприводимо на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, за исключением случаев ${\displaystyle m=1}$, ${\displaystyle n>1}$ (симметрическая группа) и ${\displaystyle G(2,2,2)}$ (Клейнова 4 группа), когда ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ распадается на сумму неприводимых представлений размерности ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle n-1}$.
• Две группы ${\displaystyle G(m,p,n)}$ изоморфны как группы комплексных отражений, только если одна из них ${\displaystyle G(m\cdot a,p\cdot a,n)}$, а другая ${\displaystyle G(m\cdot b,p\cdot b,n)}$ для некоторых положительных целых чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Однако бывают и другие случаи, когда две такие группы изоморфны как абстрактные группы.

Таблица

Есть несколько повторений в первых 3 строках этого списка, см. предыдущий раздел.

• ШТ номер Шепарда — Тодда группы.
• Ранг размерность комплексного векторного пространства группа, на котором она действует.
• Структура описывает структуру группы. Символ «*» обозначает центральное произведение двух групп. T, O и I обозначают группы вращений тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, порядки этих групп соответственно 12, 24 и 60.
• Порядок — число элементов группы.
• Отражения — число отражений: 2⁶4¹² означает, что есть 6 отражений порядка 2 и 12 порядка 4.
• Степени — степени инвариантов кольца полиномиальных инвариантов. Например, инварианты группа № 4 форма кольцо полиномов с 2 образующими степеней 4 и 6.

ШТ	Ранг	Структура	Порядок	Отражения	Степени	Костепени
1	n−1	Симметрическая группа G(1,1,n) = Sym(n)	n!	2n(n − 1)/2	2, 3, ...,n	0,1,...,n − 2
2	n	G(m,p,n) m > 1, n > 1, p|m (G(2,2,2) приводима)	mnn!/p	2mn(n−1)/2,dnφ(d) (d|m/p, d > 1)	m,2m,..,(n − 1)m; mn/p	0,m,..., (n − 1)m если p < m; 0,m,...,(n − 2)m, (n − 1)m − n если p = m
3	1	Циклическая группа G(m,1,1) = Zm	m	dφ(d) (d|m, d > 1)	m	0
4	2	Z2.T = 3[3]3,	24	38	4,6	0,2
5	2	Z6.T = 3[4]3,	72	316	6,12	0,6
6	2	Z4.T = 3[6]2,	48	2638	4,12	0,8
7	2	Z12.T =〈3,3,3〉2, 〈3,3,2〉6	144	26316	12,12	0,12
8	2	Z4.O = 4[3]4,	96	26412	8,12	0,4
9	2	Z8.O = 4[6]2,	192	218412	8,24	0,16
10	2	Z12.O = 4[4]3,	288	26316412	12,24	0,12
11	2	Z24.O = 〈4,3,2〉12	576	218316412	24,24	0,24
12	2	Z2.O= GL2(F3)	48	212	6,8	0,10
13	2	Z4.O = 〈4,3,2〉2	96	218	8,12	0,16
14	2	Z6.O = 3[8]2,	144	212316	6,24	0,18
15	2	Z12.O = 〈4,3,2〉6	288	218316	12,24	0,24
16	2	Z10.I = 5[3]5,	600	548	20,30	0,10
17	2	Z20.I = 5[6]2,	1200	230548	20,60	0,40
18	2	Z30.I = 5[4]3,	1800	340548	30,60	0,30
19	2	Z60.I = 〈5,3,2〉30	3600	230340548	60,60	0,60
20	2	Z6.I = 3[5]3,	360	340	12,30	0,18
21	2	Z12.I = 3[10]2,	720	230340	12,60	0,48
22	2	Z4.I = 〈5,3,2〉2	240	230	12,20	0,28
23	3	W(H3) = Z2 × PSL2(5), группа Коксетера [5,3],	120	215	2,6,10	0,4,8
24	3	W(J3(4)) = Z2 × PSL2(7), Klein [1 1 14]4,	336	221	4,6,14	0,8,10
25	3	W(L3) = W(P3) = 31+2.SL2(3), группа Гессе 3[3]3[3]3,	648	324	6,9,12	0,3,6
26	3	W(M3) =Z2 ×31+2.SL2(3), группа Гессе, 2[4]3[3]3,	1296	29 324	6,12,18	0,6,12
27	3	W(J3(5)) = Z2 ×(Z3.Alt(6)), группа Влентиера [1 1 15]4,	2160	245	6,12,30	0,18,24
28	4	W(F4) = (SL2(3)* SL2(3)).(Z2 × Z2) группа Вейля [3,4,3],	1152	212+12	2,6,8,12	0,4,6,10
29	4	W(N4) = (Z4*21 + 4).Sym(5) [1 1 2]4,	7680	240	4,8,12,20	0,8,12,16
30	4	W(H4) = (SL2(5)*SL2(5)).Z2 группа Коксетера [5,3,3],	14400	260	2,12,20,30	0,10,18,28
31	4	W(EN4) = W(O4) = (Z4*21 + 4).Sp4(2)	46080	260	8,12,20,24	0,12,16,28
32	4	W(L4) = Z3 × Sp4(3), 3[3]3[3]3[3]3,	155520	380	12,18,24,30	0,6,12,18
33	5	W(K5) = Z2 ×Ω5(3) = Z2 × PSp4(3)= Z2 × PSU4(2) [1 2 2]3,	51840	245	4,6,10,12,18	0,6,8,12,14
34	6	W(K6)= Z3.Ω− 6(3).Z2, группа Митчела [1 2 3]3,	39191040	2126	6,12,18,24,30,42	0,12,18,24,30,36
35	6	W(E6) = SO5(3) = O− 6(2) = PSp4(3).Z2 = PSU4(2).Z2, группа Вейля [32,2,1],	51840	236	2,5,6,8,9,12	0,3,4,6,7,10
36	7	W(E7) = Z2 ×Sp6(2), группа Вейля [33,2,1],	2903040	263	2,6,8,10,12,14,18	0,4,6,8,10,12,16
37	8	W(E8)= Z2.O+ 8(2), группа Вейля [34,2,1],	696729600	2120	2,8,12,14,18,20,24,30	0,6,10,12,16,18,22,28

• Конечная группа, действующая на комплексном векторном пространстве, является  группой комплексных отражений тогда и только тогда, когда кольцо инвариантов является полиномиальным кольцом.

• Если ${\displaystyle \ell }$ — ранг группы отражений, то степени ${\displaystyle d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }}$ образующих кольца инвариантов называются степенями W. Они перечислены в столбце выше столбце «степени». Многие другие инварианты группы определяются степенями:
  • Центр неприводимой группы отражений является циклическим и его порядок равен наибольшему общему делителю степеней.
  • Порядок группы отражений равен произведению его степеней.
  • Число отражений группы равно сумме степеней минус ранг.
  • Степени ${\displaystyle d_{i}}$ удовлетворяют следующему тождеству

    ${\displaystyle \prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.}$

• Каждая неприводимая группа комплексных отражений имеет минимальное число образующих, ${\displaystyle n}$ или ${\displaystyle n+1}$ отражений.
  • Минимальное число образующих равно n эквивалентно тому, что ${\displaystyle d_{i}+d_{i}^{*}=d_{\ell }}$ для всех ${\displaystyle i}$.
    • В частности, для группы ${\displaystyle G(m,p,n)}$ это выполняется только при р = 1 или m.

• Broué, Michel; Malle, Gunter & Rouquier, Raphaël (1995), On complex reflection groups and their associated braid groups, Representations of groups (Banff, AB, 1994), vol. 16, CMS Conf. Proc., Providence, R.I.: American Mathematical Society, с. 1–13, <http://www.math.ucla.edu/~rouquier/papers/banff.pdf>
• Broué, Michel; Malle, Gunter & Rouquier, Raphaël (1998), Complex reflection groups, braid groups, Hecke algebras, Journal für die reine und angewandte Mathematik Т. 500: 127–190, ISSN 0075-4102, DOI 10.1515/crll.1998.064
• Deligne, Pierre (1972), Les immeubles des groupes de tresses généralisés, Inventiones Mathematicae Т. 17 (4): 273–302, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01406236
• Hiller, Howard Geometry of Coxeter groups. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London, 1982. iv+213 pp. ISBN 0-273-08517-4*
• Lehrer, Gustav I. & Taylor, Donald E. (2009), Unitary reflection groups, vol. 20, Australian Mathematical Society Lecture Series, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-74989-3
• Shephard, G. C. & Todd, J. A. (1954), Finite unitary reflection groups, Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathématiques (Canadian Mathematical Society) . — Т. 6: 274–304, ISSN 0008-414X, doi:10.4153/CJM-1954-028-3, <https://books.google.com/?id=Bi7EKLHppuYC>
• Coxeter, Finite Groups Generated by Unitary Reflections, 1966, 4. The Graphical Notation, Table of n-dimensional groups generated by n Unitary Reflections. pp. 422-423