Граф Клебша

В теории графов под графом Клебша понимается один из двух дополняющих друг друга графов, имеющих 16 вершин. Один из них имеет 40 рёбер и является 5-регулярным графом, другой имеет 80 рёбер и является 10-регулярным графом. 80-рёберный вариант — это половинный граф куба 5-го порядка. Назван графом Клебша в 1968 году Зайделем [2] ввиду его связи с конфигурацией прямых поверхности четвёртого порядка, открытой 1868 году немецким математиком Альфредом Клебшем. 40-рёберный вариант – это складной граф куба 5 порядка. Он известен также под именем граф Гринвуда — Глизона после работы Гринвуда и Глизона [3], в которой они использовали этот граф для вычисления числа Рамсея R (3,3,3) = 17[3] [4] [5].

Граф Клебша
Вершин 16
Рёбер 40
Радиус 2
Диаметр 2
Обхват 4
Автоморфизмы 1920
Хроматическое число 4[1]
Свойства Сильно регулярный
Гамильтонов граф
Граф без треугольников
Граф Кэли
Вершинно-транзитивен
Рёберно-транзитивен
Дистанционно-транзитивен

Построение

Складной граф куба 5-го порядка (5-регулярный граф Клебша) может быть построен добавлением рёбер между противоположными вершинами графа 4-мерного гиперкуба (В n-мерном гиперкубе пара вершин противоположна, если кратчайшее расстояние между ними содержит n рёбер). Его можно построить также из графа 5-мерного гиперкуба стягиванием каждой пары противоположных вершин.

Ещё одно построение, дающее тот же граф, заключается в создании вершины для каждого элемента конечного поля GF (16) и соединении двух вершин ребром, если разность соответствующих элементов поля является кубом[6].

Половинный граф куба 5-го порядка (10-регулярный граф Клебша) — это дополнение 5-регулярного графа. Его можно также построить из вершин 5-мерного гиперкуба путём соединения пар вершин, между которыми расстояние Хэмминга равно точно двум. Это построение образует два подмножества по 16 вершин в каждом, не связанных друг с другом. Оба полученных графа изоморфны 10-регулярному графу Клебша.

Свойства

5-регулярный граф Клебша является сильно регулярным графом 5-й степени с параметрами [7][8]. Его дополнение, 10-регулярный граф Клебша, тоже сильно регулярен[1] [5].

5-регулярный граф Клебша является гамильтоновым, непланарным и не эйлеровым. Оба графа являются 5-{{Вершинно k-связный граф|вершинно связными]] и 5-{{Рёберно k-связный граф|рёберно связными]]. Подграф, порождённый десятью вершинами, не являющихся соседями какой-либо вершины в этом графе, изоморфен графу Петерсена.

Рёбра полного графа K16 можно разделить на три несвязных копии 5-регулярного графа Клебша. Поскольку граф Клебша не содержит треугольников, это показывает, что существует трёхцветное раскрашивание без треугольников рёбер графа K16. Таким образом, число Рамсея R (3,3,3), описывающее минимальное число вершин в полном графе при трёхцветном раскрашивании без треугольников, не может быть меньше 17. Гринвуд и Глизон использовали это построение как часть своего доказательства равенства R (3,3,3) = 17 [3][9].

5-регулярный граф Клебша является графом Келлера размерности два, и входит в семейство графов, используемых для поиска покрытия Евклидовых пространств большой размерности гиперкубами, не имеющими общих граней.

Алгебраические свойства

Характеристический многочлен 5-регулярного графа Клебша — это . Таким образом, граф Клебша является целым графом – его спектр состоит полностью из целых чисел[5]. Граф Клебша является единственным графом с таким характеристическим полиномом.

5-регулярный граф Клебша является графом Кэли c группой автоморфизмов порядка 1920, изоморфной группе Коксетера . Как в любом графе Кэли, группа автоморфизмов действует транзитивно на его вершины, делая его вершинно-транзитивным. Фактически он является симметричным графом, а потому он рёберно-транзитивен и дистанционно-транзитивен.

Галерея

Примечания
  1. . Eric W. Weisstein. Clebsch Graph.. From MathWorld — A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 13 августа 2009.
  2. J. J. Seidel, Strongly regular graphs with (−1,1,0) adjacency matrix having eigenvalue 3, Lin. Alg. Appl. 1 (1968) 281—298.
  3. R. E. Greenwood, Andrew Gleason. Combinatorial relations and chromatic graphs // Canadian Journal of Mathematics. — 1955. — Т. 7. — С. 1—7. — doi:10.4153/CJM-1955-001-4.
  4. A. Clebsch. Ueber die Flächen vierter Ordnung, welche eine Doppelcurve zweiten Grades besitzen // J. für Math. — 1868. — Т. 69. — С. 142—184.
  5. The Clebsch Graph on Bill Cherowitzo's home page
  6. De Clerck, Frank Constructions and Characterizations of (Semi)partial Geometries. Summer School on Finite Geometries 6 (1997).
  7. Problems in algebraic combinatorics // Electronic Journal of Combinatorics. — 1995. — Т. 2. — С. 3.
  8. Peter J. Cameron Strongly regular graphs on DesignTheory.org, 2001
  9. Hugo S. Sun, M. E. Cohen. An easy proof of the Greenwood–Gleason evaluation of the Ramsey number R (3,3,3) // The Fibonacci Quarterly. — 1984. — Т. 22, вып. 3. — С. 235—238.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.