Волны в плазме

Для поперечных волн в бесстолкновительной плазме, температурой электронов в которой пренебрегается, диэлектрическая проницаемость имеет вид[2]:

${\displaystyle \varepsilon (\omega )=1-{\frac {\omega _{pe}^{2}}{\omega ^{2}}}\left(1+{\frac {m_{e}}{m_{i}}}\right)}$

Поскольку масса ионов значительно выше, чем масса электронов, вторым слагаемым в скобках обычно можно пренебречь. Таким образом, эти волны являются аналогом электромагнитных волн в вакууме, однако отличаются от них наличием дисперсии. Дисперсионное соотношение для этих волн имеет вид[3]:

${\displaystyle \omega (k)={\sqrt {c^{2}k^{2}+\omega _{pe}^{2}}}}$

Откуда несложно определить фазовую и групповую скорости волн:

${\displaystyle v_{ph}={\frac {\omega }{k}}={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon (\omega )}}}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {\omega _{pe}^{2}}{\omega ^{2}}}}}}}$

${\displaystyle v_{gr}={\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} k}}=c{\sqrt {\varepsilon (\omega )}}=c{\sqrt {1-{\frac {\omega _{pe}^{2}}{\omega ^{2}}}}}}$

Таким образом, всегда выполняется соотношение ${\displaystyle v_{ph}v_{gr}=c^{2}}$. Особенностью поперечных волн в изотропной плазме является также наличие диапазона частот ${\displaystyle \omega <\omega _{pe}}$, в котором диэлектрическая проницаемость отрицательна, а коэффициент преломления чисто мнимый. Волны с такой частотой не могут распространяться в плазме. При падении на слой плазмы электромагнитной волны, частота которой ниже электронной плазменной частоты, в плазме образуется скин-слой, а волна полностью отражается.

Учёт кинетических эффектов, в том числе температуры электронов (в случае нерелятивистских температур), приводит только к небольшой коррекции дисперсионного соотношения для поперечных волн, но не привносит новых свойств или эффектов. Это объясняется тем, что скорость поперечных волн значительно выше, чем скорость теплового движения электронов[4].

Продольные или ленгмюровские волны являются особым видом волн, характерным только для плазмы и плазмоподобных сред. Эти волны называются продольными, поскольку в них вектор электрического поля сонаправлен с волновым вектором. Характерной особенностью является также то, что наравне с колебаниями поля в ленгмюровских волнах колеблется электронная плотность. Ленгмюровские волны были впервые изучены в 1929 году И. Ленгмюром и Л. Тонксом.

Важной особенностью ленгмюровских волн является наличие у них так называемого затухания Ландау — бесстолкновительного затухания, связанного с передачей энергии волн частицам плазмы. Коэффициент затухания зависит от длины волны и в длинноволновом приближении, так что выполняется ${\displaystyle kv_{Te}\ll \omega _{pe}}$ (где ${\displaystyle v_{Te}}$ — тепловая скорость электронов), равен[5]:

${\displaystyle \gamma (k)={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}{\frac {\omega _{pe}}{(kr_{De})^{3}}}\exp \left(-{\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}(kr_{De})^{2}\right)}$

где ${\displaystyle r_{De}}$ — дебаевский радиус электронов.

В том же приближении дисперсионное соотношение для продольных волн имеет вид[5]:

${\displaystyle \omega =\omega _{pe}\left(1+{\frac {3}{2}}(kr_{De})^{2}\right)=\omega _{pe}+{\frac {3}{2}}(kv_{Te})^{2}}$

Таким образом, коротковолновые возмущения, для которых ${\displaystyle kv_{Te}\approx \omega _{pe}}$, быстро затухают, поскольку для них величина частоты приближается к величине коэффициента затухания, то есть волна, фактически, перестаёт быть распространяющейся и затухает на одном периоде. При этом в той области, где волна затухает слабо, её частота практически не изменяется и приблизительно равна электронной плазменной частоте. Это позволяет говорить о том, что данная волна является просто плазменными колебаниями, распространяющимися в пространстве только за счёт наличия тепловой скорости электронов. В приближении нулевой температуры электронов скорость ленгмюровских волн точно равна нулю, а дисперсионное соотношение для них имеет вид[6]:

${\displaystyle \ \omega =\omega _{pe}}$

Поскольку ленгмюровские волны связаны с колебаниями электронной плотности, которые происходят на высоких частотах, движение ионов слабо сказывается на характеристиках продольных волн. Фактически, движение ионов даёт вклад только в малую поправку к плазменной частоте[7]:

${\displaystyle \omega _{pe}={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}N_{e0}}{m_{e}}}\left(1-{\frac {m_{e}}{m_{i}}}\right)}}}$

Рассмотренные выше поперечные и продольные электронные волны относятся к высокочастотным, и движение ионов не оказывает заметного влияния на их характеристики. В низкочастотной области, однако, возможно существование плазменных волн, в которых движение ионов имеет определяющее значение[7]. Эти волны, называемые ионно-звуковыми, носят продольный характер и во многом аналогичны звуковым волнам в неплазменных средах. Роль возвращающих сил в таких волнах, однако, играют электростатические силы разделения зарядов, а не силы давления.

Существование ионно-звуковых волн возможно только в сильно неравновесной плазме, в которой температура электронов значительно превышает температуру ионов: ${\displaystyle T_{e}\gg T_{i}}$[7]. Для фазовой скорости ионно-звуковых волн ${\displaystyle v_{ph}=\omega /k}$ при этом выполняется следующее неравенство[7]:

${\displaystyle v_{Ti}\ll {\frac {\omega }{k}}\ll v_{Te}}$,

где ${\displaystyle v_{Ti}={\sqrt {T_{i}/m_{i}}}}$ и ${\displaystyle v_{Te}={\sqrt {T_{e}/m_{e}}}}$ — скорости теплового движения ионов и электронов соответственно.

В этих предположениях уравнение ионно-звуковых волн может быть получено на основе гидродинамического описания плазмы. В линейном приближении из них может быть получено дисперсионное соотношение следующего вида[8]:

${\displaystyle \omega ={\frac {kv_{s}}{\sqrt {1+k^{2}r_{De}^{2}}}}}$,

где ${\displaystyle v_{s}={\sqrt {T_{e}/m_{i}}}}$ — скорость ионного звука.

Аналогично ленгмюровским волнам, ионно-звуковые волны испытывают бесстолкновительное затухание, связанное с взаимодействием с резонансными частицами — электронами и ионами. Это взаимодействие резко усиливается, если фазовая скорость ионного звука приближается к тепловой скорости ионов. По этой причине ионно-звуковые волны не могут распространяться в равновесной плазме, для которой ${\displaystyle T_{e}=T_{i}}$, и следовательно, ${\displaystyle v_{s}=v_{Ti}}$[9].

Интересны предельные случаи ионно-звуковых волн. В длинноволновом пределе (${\displaystyle kr_{De}\ll 1}$) дисперсионное соотношение принимает вид[9]

${\displaystyle \omega =kv_{s}}$,

то есть представляет собой линейную зависимость, характерную и для обычных звуковых волн.

В коротковолновом пределе (${\displaystyle kr_{De}\gg 1}$) дисперсионное соотношение принимает вид[9]

${\displaystyle \omega ={\frac {v_{s}}{r_{De}}}=\omega _{pi}}$,

то есть волна вырождается в продольные колебания на ионной плазменной частоте.