Аффинная эквивалентность

Два множества ${\displaystyle A,B\in \mathbb {R} ^{n}}$ называются аффинно эквивалентными, если существует аффинное преобразование ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$, переводящее ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$, т.е. ${\displaystyle f(A)=B}$.

Аффинная эквивалентность является отношением эквивалентности на множестве всех подмножеств ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})}$ множества ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и, в частности, на любом подмножестве ${\displaystyle X\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Например, если ${\displaystyle X\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{2})}$ —- множество всех неприводимых коник на плоскости, то аффинная эквивалентность разбивает его на четыре класса эквивалентности, представителями которых являются четыре стандартные коники:

•    ${\displaystyle x^{2}+y^{2}\,=1}$  — вещественная единичная окружность;
•    ${\displaystyle x^{2}-y^{2}\,=1}$  — равнобочная гипербола;
•    ${\displaystyle y=x^{2}}$  — стандартная парабола;
•    ${\displaystyle x^{2}+y^{2}\,=-1}$  — мнимая окружность.

Другими словами, аффинная эквивалентность доставляет аффинную классификацию коник на плоскости: каждая неприводимая коника на плоскости аффинно эквивалентна только одной из перечисленных стандартных коник.