Аффинная классификация кубик

Исаак Ньютон получил две классификации кубик[1] [2]. Основываясь на второй классификации[2] была получена аффинная классификация кубик[3]. Эта классификация описана в следующей теореме.

Теорема. Существуют 59 семейств аффинных классов эквивалентности неприводимых кубик: 15 классов модальности 0;  23 семейства (классов) модальности 1;  16 семейств модальности 2;  5 семейств модальности 3;  эти семейства представлены в следующем списке канонических уравнений.

Порядок перечисления семейств аффинных классов принадлежит Ньютону, для удобства он сохранён в этом списке. В каждом пункте списка указана размерность множества кубик, принадлежащих этому семейству аффинных классов. Например, каждая кубика аффинного класса с номером 1.1 аффинно эквивалентна кубике   ,   множество кубик этого класса в пространстве     всех кубик имеет размерность   ,   а каждая кубика семейства аффинных классов с номером 1.7 аффинно эквивалентна одной из кубик однопараметрического семейства   , где   ,   множество кубик этого семейства в пространстве     всех кубик имеет размерность   .

Рис. 1: Классы кубик с точкой возврата

Классы, полученные из кубики с точкой возврата, см. рис. 1.

1.1.   ;  .

1.2.   ;  .

1.3.   ;  .

1.4.   ;  .

1.5.   ;  .

1.6.   ;  .

1.7.   ,   где ;  .

1.8.   ;  .

1.9.   ,   где ;  .


Рис. 2: Классы кубик с петлёй

Классы, полученные из кубики с петлёй, см. рис. 2.

2.1.   ;   .

2.2.   ,  где ;  .

2.3.   ;  .

2.4.   ,  где ;  .

2.5.   ;  .

2.6.   ,  где ;  .

2.7.   ,  где   и  ;  .

2.8.   ,  где ;  .

2.9.   ;  .

2.10.   ,  где ;  .

2.11.   ,  где   и  ;  .

2.12.   ,  где ;  .

2.13.   ,  где   и  ;  .

2.14.   ,  где   и  ;  .


Рис. 3: Классы кубик с изолированной точкой

Классы, полученные из кубики с изолированной точкой, см. рис. 3, где кубики семейств с номерами 3.1, 3.2, 3.4 - 3.8, 3.10 - 3.12 имеют изолированную точку в начале координат , а кубики семейств с номерами 3.3 и 3.9 имеют изолированную тоску в точке пересечения прямой и бесконечно удалённой прямой , т.е. в точке с проективными координатами .

3.1.   ;  .

3.2.   ,  где ;  .

3.3.   ;  .

3.4.   ,  где ;  .

3.5.   ;  .

3.6.   ,  где ;  .

3.7.   ;  .

3.8.   ,  где ;  .

3.9.   ,  где ;  .

3.10.     ,  где   и   ;  .

3.11.   ,  где ;  .

3.12.   ,  где ,    и  ;  .


Рис. 4: Классы простой кубики

Классы, полученные из простой кубики, см. рис. 4.

4.1.   ,  где ;  .

4.2.   ,  где   и  ;  .

4.3.   , где ;  .

4.4.   , где  и ;  .

4.5.   ,  где ;  .

4.6.   , где  и ;  .

4.7.   ,  где ,    и  ;  .

4.8.   ,  где ,    и  ;  .

4.9.   ,  где ,  ,  ,  ,  ,  ,    и   ;  .


Рис. 5: Классы кубики с овалом

Классы, полученные из кубики с овалом, см. рис. 5.

5.1.   ,  где ;  .

5.2.   ,  где ;  .

5.3.   ,  где ;  .

5.4.   ,  где   и  ;  .

5.5.   ,  где ;  .

5.6.   , где ; .

5.7.   ,  где ;   .

5.8.   ,  где  и ;  .

5.9.   ,  где ;  .

5.10.   ,  где   и  ;  .

5.11.   ,  где ,    и  ;  .

5.12.   ,  где   и  ;  .

5.13.   ,  где ,    и  ;  .

5.14.   ,  где   и  ;  .

5.15.   ,   где ,  ,  ,  ,   ,  ;  .

См. также

Литература

  1. Newton I. "Enumeratio linearum tertii ordinis". — in "The mathematical papers of Isaac Newton" (D.T. Whiteside, ed.): Cambridge Univ. Press, V. 7, 1976, pp. 565-645. Русский перевод «Перечисление кривых третьего порядка» в книге Исаак Ньютон, «Математические работы» (пер. с латинского Д. Д. Мордухай-Болтовского), 1937, стр. 194—209, доступно постранично on-line на Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 8 февраля 2016. Архивировано 12 июня 2008 года..
  2. Newton I. "The final 'Geometriæ libri duo' ". — in "The mathematical papers of Isaac Newton" (D.T. Whiteside, ed.): Cambridge Univ. Press, V. 7, 1976, pp. 402-469.
  3. Корчагин А. Б., Ньютонова и аффинная классификации нераспадающихся кубик, Алгебра и анализ, Т. 24(2012), № 5, стр. 94–123. Engl. transl.: Korchagin A. B., Newtonian and affine classifications of irreducible cubics, St. Petersburg Math. J., Vol. 24, 2013, pp. 759-781.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.