Изометрическая эквивалентность

Два множества ${\displaystyle A,B\in \mathbb {R} ^{n}}$ называются изометрически эквивалентными, если существует движение ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$, переводящее ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$. то есть${\displaystyle f(A)=B}$.

Изометрическая эквивалентность является отношением эквивалентности на множестве всех подмножеств ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})}$ множества ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и, в частности, на любом подмножестве ${\displaystyle X\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Например, если ${\displaystyle X\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{2})}$ —- множество всех неприводимых коник на плоскости, то изометрическая эквивалентность разбивает его на четыре семейства классов эквивалентности, представителями которых являются четыре стандартные семейства коник:

•    ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\,=1}$  — двупараметрическое семейство вещественных эллипсов, ${\displaystyle 0<b\leq a}$;
•    ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\,=1}$  — двупараметрическое семействогипербол, ${\displaystyle 0<b\leq a}$;
•    ${\displaystyle y^{2}=2px}$  — однопараматрическое семейство парабол, ${\displaystyle 0<p}$;
•    ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\,=-1}$  — двупараметрическое семейство мнимых эллипсов, ${\displaystyle 0<b\leq a}$.

Другими словами, изометрическая эквивалентность доставляет изометрическую классификацию коник на плоскости: каждая неприводимая коника на плоскости изометрически эквивалентна только одной из перечисленных стандартных коник.