Асферическое пространство

Асферическое пространство — топологическое пространство в котором все гомотопические группы $\pi _{n}(X)$ кроме $n=1$ тривиальны. Для симплектических многообразий значение термина немного отличается; смотри симплектически асферическое многообразие.

Свойства

По теореме Уайтхеда, CW-комплекс асферичен тогда и только тогда, когда егу универсальное накрытие стягиваемо.

Каждое асферическое пространство $X$ по определению является K(G,1) пространством, где $G=\pi _{1}(X)$ является фундаментальной группой $X$ .

Пусть $X$ $\text{[math]}$ асферическое пространство и $K$ $\text{[math]}$ — связный CW-комплекс.
- Любое непрерывное отображение из 2-мерного остова $K$ в $X$ может быть продолжено до непрерывного отображения, определённого на всём $K$ .
- Для любого гомоморфизма фундаментальных групп $h\colon \pi _{1}K\to \pi _{1}X$ $\text{[math]}$ существует непрерывное отображение $\varphi \colon K\to X$ $\text{[math]}$ , которое индуцирует $h$ $\text{[math]}$ .
  - Более того, $\varphi$ единственно с точностью до гомотопической эквивалентности.

Непосредственно из определения асферическое пространство является классифицирующим пространством для его фундаментальной группы (которая считается топологической группой, когда наделена дискретной топологией).

Все компактные поверхности кроме сферы и проективной плоскости являются асферическими.
Тор любой размерности асферичен.
Любое гиперболическое многообразие асферично.
Болле того, метрические пространства с неположительной кривизной в смысле Александрова (то есть, локально CAT(0) пространства) асферичны. В случае римановых многообразий это следует из теоремы Картана — Адамара.
Дополнение узла в $\mathbb {S} ^{3}$ является асферическим по теореме о сфере
Любое нильмногообразие асферично.
Бесконечномерное линзовое пространство $\mathbb {S} ^{\infty }/\mathbb {Z} _{p}$ асферично.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.