Существенное многообразие

Существенные многообразия — особый тип замкнутых многообразий. Понятие было введено Громовым в исследовании систолического неравенства.[1]

Определение

-мерное замкнутое многообразие называется существенным, если существует асферическое топологическое пространство и непрерывное отображение которое переводит фундаментальный калсс в ненулевой класс гомологий .

Иначе говоря, фундаментальный класс определяет ненулевой элемент в гомологиях его фундаментальной группы . Точнее, если есть птостранство, то отображение индуцирующее изоморфизм фундаментальных групп даёт нетривиальный гомоморфизм

Здесь фундаментальный класс берётся в гомологиях с целыми коэффициентами, если многообразие ориентируемо, и коэффициентами по модулю 2 в противном  случае.

Примеры

  • Все замкнутые поверхности (т. е. 2-мерные многообразия) являются существенными, за исключением 2-сферы S2.
  • Вещественное проективное пространство является существенным, поскольку включение
является инъективным в гомологиях и
— это K(π,1)-пространство конечной циклической группы порядка 2.

Свойства

  • Связная сумма существенного многообразия с любым замкнутым многообразием существенна.
  • Прямое произведение существенных многообразий существенно.
  • Любое многообразие, допускающее отображение ненулевой степени в существенное, также является существенным.
  • Для существенных многообразий выполняется систолическое неравенство.
    • Это свойство является первопричиной введения этого определения.

Примечания

  1. Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, J. Diff. Geom. 18 (1983), 1–147.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.