Существенное многообразие
Существенные многообразия — особый тип замкнутых многообразий. Понятие было введено Громовым в исследовании систолического неравенства.[1]
Определение
-мерное замкнутое многообразие называется существенным, если существует асферическое топологическое пространство и непрерывное отображение которое переводит фундаментальный калсс в ненулевой класс гомологий .
Иначе говоря, фундаментальный класс определяет ненулевой элемент в гомологиях его фундаментальной группы . Точнее, если есть птостранство, то отображение индуцирующее изоморфизм фундаментальных групп даёт нетривиальный гомоморфизм
Здесь фундаментальный класс берётся в гомологиях с целыми коэффициентами, если многообразие ориентируемо, и коэффициентами по модулю 2 в противном случае.
Примеры
- Все замкнутые поверхности (т. е. 2-мерные многообразия) являются существенными, за исключением 2-сферы S2.
- Вещественное проективное пространство является существенным, поскольку включение
- является инъективным в гомологиях и
- — это K(π,1)-пространство конечной циклической группы порядка 2.
- Все компактные асферические многообразия являются существенными (поскольку асферичность подразумевает, что многообразие само уже является K(G,1) пространством).
- В частности, все компактные гиперболические многообразия являются существенными.
- Все линзовые пространства являются существенными.
Свойства
- Связная сумма существенного многообразия с любым замкнутым многообразием существенна.
- Прямое произведение существенных многообразий существенно.
- Любое многообразие, допускающее отображение ненулевой степени в существенное, также является существенным.
- Для существенных многообразий выполняется систолическое неравенство.
- Это свойство является первопричиной введения этого определения.
Примечания
- Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, J. Diff. Geom. 18 (1983), 1–147.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.