Систолическое неравенство

Систолическое неравенство — неравенство следующего вида

${\displaystyle \operatorname {sys} M\leqslant c_{n}\cdot {\sqrt[{n}]{\operatorname {vol} M}},}$

Систола тора.

где ${\displaystyle M}$ есть замкнутое ${\displaystyle n}$-мерное риманово многообразие в определённом классе, ${\displaystyle \operatorname {sys} M}$ — длина кратчайшей нестягиваемой замкнутой кривой на ${\displaystyle M}$ (так называемая систола ${\displaystyle M}$) и ${\displaystyle \operatorname {vol} M}$ — его объём.

Как определённый класс обычно берётся топологический тип многообразия, но иногда рассматриваются, например, класс римановых многообразий конформно эквивалентных данному.

Для многих топологических типов многообразий, например для произведения сферы и окружности ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}}$ систолическое неравенство не выполняется — существуют римановы метрики на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}}$ с произвольно малым объёмом и произвольно длинной систолой.