Абсолютная группа Галуа

Абсолютная группа Галуа $G_{K}$ поля $K$ — группа Галуа $K^{sep}$ над $K$ , где $K^{sep}$ — сепарабельное замыкание $K$ . Также определяется как группа всех автоморфизмов алгебраического замыкания поля $K$ , которые оставляют $K$ неподвижным. Абсолютная группа Галуа уникальна с точностью до изоморфизма. Является проконечной группой.

(Если $K$ — совершенное поле, $K^{sep}$ совпадает с алгебраическим замыканием $K^{alg}$ поля $K$ . Например, это верно для полей характеристики 0 и конечных полей.)

Примеры

Абсолютная группа Галуа алгебраически замкнутого поля тривиальна.
Абсолютная группа Галуа действительных чисел — циклическая группа, состоящая из двух элементов (комплексного сопряжения и тождественного отображения), так как $\mathbb {C}$ — сепарабельное замыкание $\mathbb {R}$ и $[\mathbb {C$ .
Абсолютная группа Галуа конечного поля $K$ изоморфна группе ${\hat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .$ Здесь $\varprojlim$ — проективный предел.

Автоморфизм Фробениуса

Fr

— канонический (топологический) генератор

G_{K}

(

Fr(x)=x^{q}

, где

q

— число элементов в

K

).

Абсолютная группа Галуа поля рациональных функций с комплексными коэффициентами является свободной проконечной группой[1].
В более общем случае, пусть $C$ — алгебраически замкнутое поле и $x$ — переменная. Тогда абсолютная группа Галуа поля $K=C(x)$ — свободная группа ранга равного мощности $C$ [2][3][4].
Пусть $K$ — конечное расширение p-адических чисел $Q_{p}$ . Для $p\neq 2$ , его абсолютная группа Галуа порождается $[K:Q_{p}]+3$ элементами и имеет явное описание в терминах образующих и соотношений.
Абсолютная группа Галуа определена для наибольшего чисто вещественного подполя поля алгебраических чисел.

Открытые проблемы

Неизвестно явное описание абсолютной группы Галуа рациональных чисел. В этом случае из теоремы Белого следует, что абсолютная группа Галуа имеет эффективное действие на dessins d’enfants Гротендика, что позволяет представить в наглядном виде теорию Галуа полей алгебраических чисел.
Гипотеза Шафаревича утверждает, что абсолютная группа Галуа максимального абелева расширения рациональных чисел — свободная проконечная группа.

Примечания

Adrien Douady. Détermination d'un groupe de Galois (фр.) // Comptes Rendues de l'Académie des Sciences de Paris. — 1964. — Vol. 258. — P. 5305–5308., MR: 0162796
David Harbater. Fundamental groups and embedding problems in characteristic p (англ.) // American Mathematical Society. — 1995. — Vol. 186. — P. 353–369.
Dan Haran, Moshe Jarden. The absolute Galois group of C(x) (англ.) // Pacific Journal of Mathematics : журнал. — 2000. — Vol. 196, no. 2. — P. 445–459. — doi:10.2140/pjm.2000.196.445.
Florian Pop. Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture (англ.) // Inventiones Mathematicae. — 1995. — Vol. 120, no. 3. — P. 555–578. — doi:10.1007/bf01241142.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Adrien Douady. Détermination d'un groupe de Galois (фр.) // Comptes Rendues de l'Académie des Sciences de Paris. — 1964. — Vol. 258. — P. 5305–5308., MR: 0162796

[2] David Harbater. Fundamental groups and embedding problems in characteristic p (англ.) // American Mathematical Society. — 1995. — Vol. 186. — P. 353–369.

[3] Dan Haran, Moshe Jarden. The absolute Galois group of C(x) (англ.) // Pacific Journal of Mathematics : журнал. — 2000. — Vol. 196, no. 2. — P. 445–459. — doi:10.2140/pjm.2000.196.445.

[4] Florian Pop. Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture (англ.) // Inventiones Mathematicae. — 1995. — Vol. 120, no. 3. — P. 555–578. — doi:10.1007/bf01241142.