Характеристическая скорость орбитального манёвра

${\displaystyle \Delta {v}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {\left|T\right|}{m}}\,dt}$

где

T — мгновенная тяга двигателя,

m — мгновенная масса корабля.

При отсутствии внешних сил (вакуум, гравитация небесных тел пренебрежимо мала, электромагнитные поля слабы):

${\displaystyle \Delta {v}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\left|a\right|}\,dt}$

где a — ускорение. Когда тяга приложена в постоянном направлении (без рысканья и тангажа), уравнение упрощается до

${\displaystyle \Delta {v}=\left|{v}_{1}-{v}_{0}\right|}$,

то есть просто до изменения скорости (относительно точки отчета в инерционной системе).

Орбитальные манёвры, как правило, выполняются выбросом из ракетного двигателя рабочего тела (газов) для создания противосилы, действующей на корабль. Значение этой силы равно

${\displaystyle F=V_{exh}\ \rho }$

где

V_exh (от англ. exhaust) — скорость истечения газа (рабочего тела).

ρ — расход рабочего тела.

Ускорение (производная от скорости) ${\displaystyle {\dot {v}}}$ корабля, вызванное этой силой, равно

${\displaystyle {\dot {v}}={\frac {f}{m}}=V_{exh}{\frac {\rho }{m}}}$

где m — масса корабля.

Меняя переменную уравнения с времени t на массу корабля m, получаем:

${\displaystyle \Delta {v}=-\int _{m_{0}}^{m_{1}}{V_{exh}{\frac {dm}{m}}}}$

Считая скорость истечения газа V_exh постоянной и независящей от остатков топлива, времени работы двигателя, это уравнение интегрируется в форму

${\displaystyle \Delta {v}=V_{exh}\ \ln \left({\frac {m_{0}}{m_{1}}}\right)}$,

которая и есть формула Циолковского.

Если, к примеру, 25 % начальной массы корабля — это топливо со скоростью истечения газов ${\displaystyle V_{exh}}$ в районе 2100 м/с (обычное значение для гидразина), то достижимое для корабля полное изменение скорости равно:

${\displaystyle \Delta {v}=2100\ \ln \left({\frac {1}{0{,}75}}\right)}$ м/с = 604 м/с.

Все приведённые формулы хорошо сходятся с реальностью для импульсных манёвров, характерных для химических реактивных двигателей (то есть с реакцией окисления горючего). Но для двигателей с малой тягой (например, ионных двигателей), а также двигателей, использующих электрические поля, солнечный ветер и т. п., эти упрощенные расчеты менее точны, особенно если периоды работы двигателей (создания тяги) превышают несколько часов.

Также для химических двигателей с большой тягой действует эффект Оберта — включение ракетного двигателя при движении с высокой скоростью создаёт больше полезной энергии, чем такой же ракетный двигатель при медленной скорости. При движении с высокой скоростью топливо имеет больше кинетической энергии (она может даже превысить потенциальную химическую энергию), и эта энергия может использоваться для получения большей механической мощности.

• Ракета
• Ракетный двигатель
• Реактивная тяга
• Формула Циолковского
• Гравитационные потери

• Ракетодинамика (Физический энциклопедический словарь, 1983)
• Журнал «Астронавтика и ракетодинамика» ВИНИТИ (недоступная ссылка)

• Мещерский И. В. «Работы по механике тел переменной массы» М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. — 276с. (2-ое изд. 1952.)
• Космодемьянский А. А., «Механика тел переменной массы (Теория реактивного движения)» Ч. 1. М., 1947.
• Михайлов Г. К., «К истории динамики систем переменного состава» Известия АН СССР: Механика твердого тела, 1975, № 5, с. 41-51.
• Гурин А. И. «Основы механики тел переменной массы и ракетодинамике» Москва 1960. — 222c.
• Мандрыка А. П. «Генезис современной ракетодинамики» Л.: Наука, 1971. — 216 с.