Функциональная полнота

Функциональная полнота множества логических операций или булевых функций — это возможность выразить все возможные значения таблиц истинности с помощью формул из элементов этого множества. Математическая логика обычно использует такой набор операций: конъюнкция ( $\land$ ), дизъюнкция ( $\lor$ ), отрицание ( $\neg$ ), импликация ( $\to$ ) и эквиваленция ( $\leftrightarrow$ ). Это множество операций является функционально полным. Но оно не является минимальной функционально полной системой, поскольку:

A\to B=\neg A\lor B

A\leftrightarrow B=(A\to B)\land (B\to A)

Таким образом $\{\neg ,\land ,\lor \}$ также является функционально полной системой. Но $\lor$ также может быть выражено (в соответствии с законом де Моргана) как:

A\lor B=\neg (\neg A\land \neg B).

$\land$ также может быть определена через $\lor$ подобным образом.

Также $\vee$ может быть выражена через $\rightarrow$ следующим образом:

\ A\vee B:=(A\rightarrow B)\rightarrow B.

Итак $\{\neg \}$ и одна из $\{\land ,\lor ,\rightarrow \}$ является минимальной функционально полной системой.

Критерий полноты

Критерий Поста описывает необходимые и достаточные условия функциональной полноты множеств булевых функций. Был сформулирован американским математиком Эмилем Постом в 1941 году.

Критерий:

Множество булевых функций является функционально полным тогда и только тогда, когда оно не содержится полностью ни в одном из предполных классов.

Минимальные множества бинарных операций

Множества из одного элемента: $\{|\}$ (штрих Шеффера), $\{\downarrow \}$ (стрелка Пирса)

Множества двух элементов: $\{\lor ,\lnot \},\{\land ,\lnot \},\{\to ,\lnot \},\{\to ,\bot \},\{\not \to ,\top \},\{\to ,\not \to \},\{\to ,\not \leftrightarrow \},\{\not \to ,\leftrightarrow \}$

Множества трёх элементов: $\{\lor ,\leftrightarrow ,\not \leftrightarrow \},\{\lor ,\not \leftrightarrow ,\top \},\{\land ,\leftrightarrow ,\bot \},\{\land ,\leftrightarrow ,\not \leftrightarrow \},\{\land ,\not \leftrightarrow ,\top \},\{\lor ,\leftrightarrow ,\bot \}$ .

То же в другой нотации:

{\bigl \langle }\lor ,\odot ,\oplus {\bigr \rangle }

,

{\bigl \langle }\lor ,\oplus ,1{\bigr \rangle }

,

{\bigl \langle }\wedge ,\odot ,0{\bigr \rangle }

,

{\bigl \langle }\wedge ,\odot ,\oplus {\bigr \rangle }

,

{\bigl \langle }\wedge ,\oplus ,1{\bigr \rangle }

(см. алгебра Жегалкина),

{\bigl \langle }\lor ,\odot ,0{\bigr \rangle }

(инверсный к предыдущему).

См. также

Замкнутые классы булевых функций

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.