Формула Сильвестра

Формула Сильвестра, матричная теорема Сильвестера (названа именем Дж. Дж. Сильвестера) или интерполяция Лагранжа — Сильвестера выражает аналитическую функцию матрицы A как многочлен от A в терминах собственных значений и векторов матрицы A[1][2]. Теорема гласит, что[3]

где — собственные значения матрицы A, а матрицы

являются соответствующими ковариантами Фробениуса матрицы A, которые являются матрицами (проекции) многочленов Лагранжа матрицы A.

Условия

Формула Сильвестра применима для любой диагонализируемой матрицы A с k различными собственными значениями и любой функции f, определённой на некотором подмножестве комплексных чисел, такой что вполне определена. Последнее условие означает, что любое собственное значение находится в области определения f и что любое собственное значение с кратностью находится внутри области определения, а сама функция f дифференцируема () раз в точке [4].

Пример

Рассмотрим матрицу порядка 2:

Эта матрица имеет два собственных значения, 5 и −2. Её коварианты Фробениуса есть

Формула Сильвестра тогда сводится к

Например, если f определяется выражением , то формула Сильвестра выражает обратную матрицу как

Обобщение

Формула Сильвестра верна только для диагонализируемых матриц. Расширение, принадлежащее Артуру Буххайму и основанное на многочленах эрмитовой интерполяции, покрывает общий случай[5]

,

где .

Краткую форму позже предложил Ганс Швердтфегер[6]

,

где являются соотвествующими ковариантами Фробениуса матрицы A

См. также

Примечания

Литература

  • Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Topics in Matrix Analysis. — Cambridge University Press, 1991. — ISBN 978-0-521-46713-1.
  • Jon F. Claerbout. Sylvester's matrix theorem // Fundamentals of Geophysical Data Processing. — 1976.
  • Sylvester J.J. XXXIX. On the equation to the secular inequalities in the planetary theory // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. — 1883. Т. 16, вып. 100. ISSN 1941-5982. doi:10.1080/14786448308627430.
  • Arthur Buchheim. On the Theory of Matrices // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1884. Т. s1-16, вып. 1. ISSN 0024-6115. doi:10.1112/plms/s1-16.1.63.
  • Hans Schwerdtfeger. Les fonctions de matrices: Les fonctions univalentes. I, Volume 1. — Hermann, 1938.
  • F.R. Gantmacher. The Theory of Matrices. — NY: Chelsea Publishing, 1960. — Т. I. — С. 101-103. — ISBN 0-8218-1376-5.
    • Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: «Наука», 1968.
  • Nicholas J. Higham. Functions of matrices: theory and computation. — Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2008. — ISBN 9780898717778.
  • Merzbacher E. Matrix methods in quantum mechanics // Am. J. Phys.. — 1968. Т. 36, вып. 9. С. 814–821. doi:10.1119/1.1975154. — .
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.