Устный счёт

Процесс устного счёта можно рассматривать как технологию счёта, объединяющую представления и навыки человека о числах, математические алгоритмы арифметики.

Имеются три вида технологии устного счёта, которые используют различные физические возможности человека:

• счёт «на пальцах»;
• аудиомоторная технология счёта;
• визуальная технология счёта.

Характерной особенностью аудиомоторного устного счёта является сопровождение каждого действия и каждого числа словесной фразой типа «дважды два — четыре». Традиционная система счёта является именно аудиомоторной технологией. Недостатками аудиомоторного способа ведения расчётов являются:

• отсутствие в запоминаемой фразе взаимосвязей с соседними результатами,
• невозможность выделить во фразах о таблице умножения отдельно десятки и единицы произведения без повторения всей фразы;
• невозможность обратить фразу вспять от ответа к множителям, что важно для выполнения деления с остатком;
• медленная скорость воспроизведения словесной фразы.

Супервычислители, демонстрируя высокие скорости мышления, используют свои визуальные способности и отличную зрительную память. Люди, которые владеют скоростными вычислениями, не используют слов в процессе решения арифметического примера в уме. Они демонстрируют реальность визуальной технологии устного счёта, лишённой главного недостатка — замедленной скорости выполнения элементарных действий с числами.

Выработка навыков устного счёта занимает особое место в начальной школе и является одной из главных задач обучения математике на этом этапе[1]. Именно в первые годы обучения закладываются основные приёмы устных вычислений, которые активизируют мыслительную деятельность учеников, развивают у детей память, речь, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции[1].

Для обучения детей устному счёту часто используют японские счёты — соробан. Многие эксперты считают, что метод счёта с использованием азиатских абаков (этот метод также называют ментальной арифметикой) появился в Древнем Китае, однако подтверждений этому не существует. Абак представлял собой доску для счёта. Этими приспособлениями пользовались по всему миру, а не только в Китае[2].

Программа обучения ментальной арифметике обычно занимает несколько лет. Сначала дети учатся считать на настоящем абаке. Далее вместо реальной доски обучающиеся начинают использовать её изображение: глядя на рисунок во время вычислений, нужно представлять, как передвигаются костяшки. В конце концов дети начинают представлять абак мысленно, что позволяет им производить умственно те же операции, что и с использованием настоящей доски. Многие эксперты считают, что ментальная арифметика позволяет эффективно развивать логическое мышление, аналитические навыки, а также улучшать память. Учащиеся могут визуализировать задачи, глубже их понимать и мыслить креативно. Эти навыки помогают им лучше концентрировать своё внимание, систематизировать получаемые знания и лучше адаптироваться к меняющимся условиям[2].

Однако некоторые педагоги и учёные относятся к данному методу немного скептически. Так, по словам народного учителя России Леонида Исаковича Звавича, устный счёт — дело полезное, но есть масса других приёмов устного счёта и какой из них лучше, сказать сложно. Успехи ребёнка в обучении во многом зависят от того, какие у него были учителя, но развивающие занятия, безусловно, помогают ему подтянуть разные предметы[2].

Но даже критики данного метода признают, что какая-то польза от ментальной арифметики все же есть, особенно если ребёнку тяжело даётся математика. Кроме того, в процессе обучения у детей вырабатывается привычка трудиться, что обязательно пригодится в дальнейшей жизни[2].

Цифровые вертушки на телефонной матрице.

Цифровые вертушки в базовом варианте представляют собой две телефонных панели, допускающие повороты вокруг центральной оси. Цифровые вертушки являются механическими учебными пособиями, позволяющими в форме игры изучать с детьми методы геометрического сложения и умножения однозначных десятичных чисел. Описаны в патенте РФ[3].

Конструкция цифровой вертушки. Неподвижная основа вертушки представляет собой плоскость с рисунками цифр, расставленных в формате Т-матрицы из трёх строк и трёх столбцов. На основу накладывается поворачивающаяся плоскость (пропеллер) на которой нарисованы стрелочки, подсказывающие ответы. Ось вращения пропеллера совпадает с центром неподвижной Т-матрицы. Единственное доступное движение — это поворот пропеллера вокруг оси[4].

Сложение.

Принцип действия цифровой вертушки заключается в следующем. Запишем сумму однозначых чисел A+B=[D;E] двумя цифрами десятков D и единиц Е. Все примеры с одинаковой величиной слагаемого +B назовём листом сложения.

Цифру единиц E примера сложения показываем стрелочкой от A к E. Эта стрелочка называется указателем единиц суммы.

Стрелочки на листе сложения образуют ломаные линии молний.

Правило единиц. Сложение A+B выполняется путём перехода по стрелочке-указателю, изображённой на листе сложения (+B), от цифры A к цифре E единиц суммы.

Пример 2+1. Потребуется лист сложения (+1). Установим фишку-метку на цифру 2 на T-матрице. Перемещаем фишку по стрелочке молнии, выходящей из точки 2. Конец указателя показывает сумму 3.

Пример 7+7. Берём лист сложения (+7). Установим фишку-метку на цифру 7 на T-матрице. Перемещаем фишку по стрелочке «шаг вверх» на 7-й молнии, выходящей из точки A=7. Конец указателя показывает цифру единиц E=4.

Применяем правило десятков. Если на указателе единиц суммы A->E есть инверсия, то есть, A>E, тогда цифра десятков суммы D=1[5].

Умножение.

Проведём следующий эксперимент с примерами умножения на 3 (третий лист умножения 3xB=[D;E]). Представим, что мы находимся в центре большой телефонной Т-матрицы. Покажем левой рукой направление из центра нв множитель B. Отставим в сторону правую руку, составив с левой рукой прямой угол. Тогда правая рука покажет цифру единиц E примера умножения 3xB[6]. Итак, правило единиц при умножении на 3 формулируется в два слова: «единицы справа» (от радиального луча множителя B).

Правило поворота лучей (чисел) на Т-матрице можно рассматривать как мнемоническое правило, удобное для запоминания всех примеров 3-го листа умножения. Если учитель попросит подсчитать 3x7, ученик вспомнит картинку Т-матрицы с нужными лучами и прочитает по ней цифры ответа, называя числа словами. Однако при геометрических вычислениях в уме слова не нужны, так как слова появляются в сознании вычислителя после картинки, где уже указаны цифры ответа. Одновременно с картинкой, возникающей в памяти человека, число результата уже получено и осознано.

Следует обратить внимание на то, что элементы изображения в наглядной арифметике стандартизованы, они могут рассматриваться как язык визуальных образов, последовательность которых (соответствующая алгоритму) эквивалентна проведению расчётов. Возникающие в памяти картинки могут быть динамическими, как в кино, или же статическими, если на одной геометрической схеме показаны и исходные данные, и числа результата. Одношаговые алгоритмы предпочтительнее многошаговых.

Чтобы вспомнить нужную картинку для получения цифр ответа элементарного примера, требуется интервал времени 0,1-0,3 секунды. Заметим, что при решении элементарных примеров геометрическим способом нет никакого увеличения нагрузки на психику. По факту, геометрический счёт у тренированного вычислителя автоматически является скоростным счётом.

Компьютер «на пальцах».

Указание радиальных лучей при умножении на 3 можно выполнить ладонью правой руки. Отставим в сторону большой палец правой руки, плотно сжав остальные пальцы. Положим правую ладонь на центр Т-матрицы, направив большой палец на множитель B. Тогда остальные пальцы правой руки покажут цифру единиц E произведения 3xB=[D;E]). Итак, умножение на 3 реализуется на телефонной матрице правилом правой руки". Например, 3x2=6[7].

Аналогично: правило единиц умножения на 7 — это правило левой руки[8].

Правило единиц умножения на 9 — это шпагат из пальцев[9].

Другие геометрические правила единиц умножения можно показать на схемах, на которых имеются радиальные лучи Т-матрицы[10]. При этом умножение чётных чисел выполняется на чётном кресте цифр Т-матрицы[11]. Удачным тренажёром являются механические учебные пособия — цифровые вертушки, использующие цифровую телефонную матрицу[12].

Чтобы показать величину десятков произведения AxB, можно воспользоваться ступенчатыми моделями листов умножения, вид и особенности которых мы запоминаем так же, как рельеф местности. Высота руки над основанием (полом) показывает величину десятков. Если цифра D превосходит 5, то основание пола будет соответствовать D=5, а верхний уровень руки — 9[13].

Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте[14]. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой, проводившиеся в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, включая, например, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова[14].

Среди известных российских «супер счётчиков»:

• Арон Чиквашвили — «чудо-счётчик»[15][16][17][18]
• Арраго[14]
• Давид Гольдштейн[14]
• Игорь Шелушков[15]
• Горный (Яшков) Юрий Гаврилович[19]
• А. В. Некрасов — «человек-компьютер»[20][21][22][23][24]
• Владимир Кутюков — «человек-календарь»[25][26][27][28][29][30]

Среди зарубежных:

• Борислав Гаджански[15]
• Вильям Клайн[15]
• Жак Иноди[15]
• Луи Флери[15]
• Мадемуазель Осака[15]
• Морис Дагбер[15]
• Томас Фуллер[15]
• Урания Диамонди[15]
• Шакунтала Деви[15]
• Юсниер Виера — кубино-американский математик, феноменальный счётчик, мировой рекордсмен в области устного календарного исчисления[31][32].

Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врождённых способностях[33], другие аргументированно доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных, „феноменальных“ способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы[14].

В настоящее время в прибалтийских странах, Словении и Украине проводятся соревнования по устному счёту среди школьников под названием Пранглимине (эст. Pranglimine). Начиная с 2004 года проводятся международные соревнования среди школьников и взрослых. В 2016 году соревнования прошли в Мурска-Собота (Словения)[34][35].

Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме[36]. Соревнования проводятся по решению таких задач, как сложение десяти 10-значных чисел (по правилам 2016 года даётся 7 минут на это задание), умножение двух 8-значных чисел за 10 минут, расчёт дня недели по григорианскому календарю по заданной дате с 1600 по 2100 годы (1 минута), корень квадратный из 6-значного числа за 10 минут (результат должен быть представлен с точностью до 8 знаков после запятой). Также определяется победитель в категории «Лучший универсальный счётчик» по итогам решения шести неизвестных «задач с сюрпризом». К заявке на участие прикладываются результаты в интеллектуальных видах спорта и результат в программах Memoriad (с сайта memoriad.com[37]), подтверждённые кем-то (например, учителем математики). Ограничения по возрасту нет, не делается также различий между полами. Участник начинает выполнение каждого задания с команды «Нейроны готовсь, пошли» (Neurons: On the ready, go). Чемпионат в 2018 году прошёл 28—30 сентября 2018 года в Научном центре Phæno в Вольфсбурге, Германия по таким правилам[38].

Memoriad[37] (MEntal math + meMORy + olimpIAD) — международная олимпиада по устному счёту, запоминанию и скорочтению, проводится раз в 4 года (совпадает по годам с летними Олимпийскими играми). Среди заданий по устному счёту: умножение 5-, 8- и 20-значных чисел, деление 10-значных чисел на 5-значные, извлечение квадратного корня из 6-, 8- и 10-значного числа, сложение 250 двухзначных чисел с показом каждого числа 0,6 секунды. Среди других заданий: запоминание бинарных чисел, десятичных чисел за определённое время (от 1 минуты до 1 часа).

Среди практикующихся в устном счёте пользуется популярностью книга «Системы быстрого счёта» цюрихского профессора математики Якова Трахтенберга[39]. История её создания необычна[15]. В 1941 году немцы бросили будущего автора в концлагерь. Чтобы сохранить ясность ума и выжить в этих условиях, учёный стал разрабатывать систему ускоренного счёта. За четыре года ему удалось создать стройную систему для взрослых и детей, которую впоследствии он изложил в книге. После войны учёный создал и возглавил Цюрихский математический институт[15].

В России хорошо известна картина русского художника Николая Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского», написанная в 1895 году. Приведённая на доске задача, над которой размышляют ученики, требует достаточно высоких навыков устного счёта и смекалки. Вот её условие:

${\displaystyle {\frac {10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}}}$

Феномен быстрого счёта больного аутизмом раскрывается в фильме «Человек дождя» Барри Левинсона и в фильме «Пи» Даррена Аронофски.

Для умножения числа на однозначный множитель (например, 34×9) устно, необходимо выполнять действия, начиная со старшего разряда, последовательно складывая результаты (30×9=270, 4×9=36, 270+36=306)[40].

Для эффективного устного счёта полезно знать таблицу умножения до 19×9. В этом случае умножение 147×8 выполняется в уме так: 147×8=140×8+7×8= 1120 + 56= 1176[40]. Однако, не зная таблицу умножения до 19×9, на практике удобнее вычислять все подобные примеры методом приведения множителя к базовому числу: 147×8=(150−3)×8=150×8−3×8=1200−24=1176, причём 150×8=(150×2)×4=300×4=1200.

Если одно из умножаемых раскладывается на однозначные множители, действие удобно выполнять, последовательно перемножая на эти множители, например, 225×6=225×2×3=450×3=1350[40]. Также, проще может оказаться 225×6=(200+25)×6=200×6+25×6=1200+150=1350.

Несколько способов устного счёта:

• Умножение на 10. Приписать справа нуль: 48×10 = 480.

• Умножение на 9. Для того чтобы умножить число на 9 надо к множимому приписать 0 и от получаемого числа отнять множимое, например 45×9=450−45=405.

• Умножать на 5 удобнее так: сначала умножить на 10, а потом разделить на 2.

• Умножение на 11 двузначного числа [N; A]. Раздвинуть цифры N и A, вписать посередине сумму (N+A).

например, 43×11 = [4; (4+3); 3] = [4; 7; 3] = 473.

• При умножении на 1,5 умножаемое нужно разделить пополам и прибавить к умножаемому, например 48×1,5= 48/2+48=72. Можно применить при умножении на 15 48×1,5×10 = 720.

• Возведение числа вида [N;5] (оканчивающееся пятёркой) в квадрат производится по схеме: умножаем N на N+1, записываем в сотни, и приписываем 25 справа. Формула: [N; 5] × [N; 5] = [ (N×(N+1)) ; 2; 5 ].
  

Доказательство:${\displaystyle (10\cdot N+5)\cdot (10\cdot N+5)=10^{2}\cdot N^{2}+2\cdot 5\cdot 10\cdot N+5^{2}=100\cdot N^{2}+100\cdot N+25=100\cdot N(N+1)+25}$
Например, 65² = 6×7 и приписываем справа 25, получим 4225 или 95² = 9025 (сотни 9×10 и приписать 25 справа).

• Числа, близкие к удобным для умножения числам. можно возводить в квадрат с помощью формулы ${\displaystyle A^{2}=(A+d)(A-d)+d^{2}}$ (например, 42² = (42 + 2)(42 − 2) + 2² = 44 × 40 + 4 = 1760 + 4 = 1764). Так же можно перемножать числа, находящиеся на одинаковом небольшом расстоянии от удобных, например: 23 × 17 = (20 + 3)(20 − 3) = 20² − 3² = 400 − 9 = 391.[41]

• Бином
• Вычислительная математика
• Вычислитель (профессия)
• Таблица умножения

• Бантова М. А. Система формирования вычислительных навыков. //Нач. шк — 1993.-№ 11. — с. 38—43.
• Белошистая А. В. Приём формирования устных вычислительных умений в пределах 100 // Начальная школа. — 2001.- № 7
• Берман Г. Н. Приёмы счёта, изд. 6-е, М.: Физматгиз, 1959.
• Боротьбенко Е И. Контроль навыков устных вычислений. //Нач. шк. — 1972. — № 7.- с. 32-34.
• Воздвиженский А. Умственные вычисления. Правила и упрощённые примеры действий с числами. — 1908.
• Волкова СИ., Моро М. И. Сложение и вычитание многозначных чисел. //Нач. шк.- 1998.-№ 8.-с.46-50
• Воскресенский М. П. Приёмы сокращённых вычислений : Целые числа. — М.: типо-лит. В. Рихтер, 1905.- 39 с.
• Вроблевский. Как научиться легко и быстро считать. — М.-1932. — 132 с.
• Гольдштейн Д. Н. Курс упрощённых вычислений. М.: Гос. учебно-пед. изд., 1931.
• Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. М.: Учпедгиз, 1948.
• Гончар Д. Р. Устный счёт и память: загадки, приёмы развития, игры // В сб. Устный счёт и память. Донецк: Сталкер, 1997 г. ISBN 966-596-057-7.
• Демидова Т. Е., Тонких А. П. Приёмы рациональных вычислений в начальном курсе математики // Начальная школа. — 2002. — № 2. — С. 94—103.
• Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. — М.: Учпедгиз.- 1967. − 150 с.
• Липатникова И. Г. Роль устных упражнений на уроках математики //Начальная школа. — 1998. — № 2.
• Мартель Ф. Приёмы быстрого счёта. — Пб. −1913. − 34 с.
• Мартынов И. И. Устный счёт для школьника, что гаммы для музыканта. // Начальная школа. — 2003. — № 10. — С. 59—61.
• Мелентьев П. В. «Быстрые и устные вычисления.» М.: «Гостехиздат», 1930.
• Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л.: Союзпечать, 1945.
• Пекелис В. Д. Твои возможности, человек!. — 4-е, перераб. и доп. — Москва: Знание, 1984. — 272 с. — 200 000 экз.
• Робер Токэ «2 + 2 = 4» (1957) (англоязычное издание: «Магия чисел» (1960)).
• Сорокин А. С. Техника счёта. М.: «Знание», 1976.
• Сухорукова А. Ф. Больше внимания устным вычислениям. //Нач. шк. — 1975.- № 10. — с. 59—62.
• Творогов В. Б. Наглядная арифметика и технология быстрого счёта. М.: Кн.1: Основы. «Либроком», 2011. — 208 с. ISBN 978-5-397-01928-6.
• Фаддейчева Т. И. Обучение устным вычислениям // Начальная школа. — 2003. — № 10.
• Фаермарк Д. С. «Задача пришла с картины.» М.: «Наука».

• В. Пекелис. Чудо-счётчики // Техника — молодёжи, № 7, 1974 г.
• С. Транковский. Устный счёт // Наука и жизнь, № 7, 2006 год.
• 1001 задача для умственного счёта С. А. Рачинского.
• Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л., 1941 г., 12 с. (в библиотеке Math.Ru)
• Тренажёр устного счёта.
• Решения задачи Рачинского с картины «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского».
• Наглядная арифметика
• Мобильное приложение — тренажёр для устного счёта