Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского

На картине изображена деревенская школа конца XIX века во время урока арифметики при вычислении в уме написанной на доске дроби. Учитель — реальный человек, Сергей Александрович Рачинский (1833—1902), ботаник и математик, профессор Московского университета. На волне народничества в 1872 году Рачинский вернулся в родное село Татево, где создал школу с общежитием для крестьянских детей, разработал уникальную методику обучения устному счёту, прививая деревенским ребятишкам его навыки и основы математического мышления. Эпизоду из жизни школы с творческой атмосферой, царившей на уроках, и посвятил своё произведение Богданов-Бельский, сам в прошлом ученик Рачинского.

На классной доске написан пример, который ученикам необходимо решить в уме:

${\displaystyle {\frac {10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}}.}$

.

Слагаемые, написанные на доске, обладают интересным свойством: ${\displaystyle {10^{2}+11^{2}+12^{2}=100+121+144=365};{13^{2}+14^{2}=169+196=365}}$. То есть, результат вычисления равен 2.

Другие варианты вычисления:

${\displaystyle 10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}=10^{2}+(10+1)^{2}+(10+2)^{2}+(10+3)^{2}+(10+4)^{2}}$

${\displaystyle =10^{2}+(10^{2}+2\cdot 10\cdot 1+1^{2})+(10^{2}+2\cdot 10\cdot 2+2^{2})+(10^{2}+2\cdot 10\cdot 3+3^{2})+(10^{2}+2\cdot 10\cdot 4+4^{2})}$

${\displaystyle =5\cdot 100+2\cdot 10\cdot (1+2+3+4)+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=500+200+30=730=2\cdot 365.}$

${\displaystyle 10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}=(12-2)^{2}+(12-1)^{2}+12^{2}+(12+1)^{2}+(12+2)^{2}}$

${\displaystyle =(12^{2}-2\cdot 12\cdot 2+2^{2})+(12^{2}-2\cdot 12\cdot 1+1^{2})+12^{2}+(12^{2}+2\cdot 12\cdot 2+2^{2})+(12^{2}+2\cdot 12\cdot 1+1^{2})}$

${\displaystyle =12^{2}+2^{2}+12^{2}+1^{2}+12^{2}+12^{2}+1^{2}+12^{2}+2^{2}=5\cdot 12^{2}+4+1+1+4=720+10=2\cdot 365.}$

• Фаермарк Д. С. Задача пришла с картины: (О картине Н. П. Богданова-Бельского «Устный счёт» и педагоге-просветителе С. А. Рачинском). — М.: Наука, 1974. — 160, [4] с. — (Из истории мировой культуры). — 90 000 экз. (обл.)
• Государственная Третьяковская галерея. Искусство XII — начала XX века. — М.: СканРус, 2007. — С. 194. — ISBN 978-5-93221-120-5..
• Решение примера (УСТНЫЙ СЧЕТ./«Наука и жизнь», № 7, 2006 год)
• 4 способа решения задачи Рачинского
• Последовательности Рачинского
• Анна Бессарабова. Россия идёт к экономике двоечников (упражнение, изображённое на картине, приведено в качестве примера)