Уравнения Фёппля — фон Кармана

Уравнения Фёппля — фон Кармана — уравнения в теории упругости названы в честь Августа Фёппля[1] и Теодора фон Кармана,[2] представляют собой набор нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих большие прогибы тонких плоских пластин.[3] Применяются в различных областях, начиная от проектирования подводных корпусов подводных лодок до механических свойств клеточной стенки.[4] Эти уравнения, которые трудно решить, имеют следующий вид: [5]

где E — модуль Юнга материала пластины (предполагается однородной и изотропной), υ — коэффициент Пуассона, h — толщина пластины, w — прогиб пластины вне плоскости, P — внешняя нормальная сила на единицу площади пластины, σαβ — тензор напряжений, и α, β — индексы, которые принимают значения 1 и 2 (два ортогональные в плоскости направления). 2-мерный бигармонический оператор определяется как[6]

Уравнение (1) можно получить из кинематических допущений и уравнений связи для пластины. Уравнения (2) описывают сохранение импульса в двух измерениях, где предполагается, что в плоскости напряжения (σ33,σ13,σ23) равны нулю.

Границы применимости

Уравнения Фёппля — фон Кармана представляют интерес с чисто математической точки зрения, но физическое применение этих уравнений сомнительно.[7] Ciarlet[8] утверждает, что: двумерные уравнения фон Кармана для пластин, первоначально предложенные фон Карманом [1910], играют мифическую роль в прикладной математике. В то время как они часто и с достаточной точностью изучались с математической точки зрения, включая различные вопросы существования, регулярности и бифуркации решений, но их физическая обоснованность часто подвергалась сомнению. Причины включают в себя следующие факты:

  1. теория зависит от геометрического приближения, которое четко не определено;
  2. произвольным образом задаётся изменение напряжения в поперечном сечении;
  3. используются линейные материальные уравнения, что не соответствует известным соотношением между хорошо определёнными напряжениями и деформациями;
  4. произвольно игнорируются некоторые компоненты деформации;
  5. существует путаница между расчетной и деформированной конфигурациями, что делает теорию неприменимой к большим деформациям, для которых она была, видимо, придумана.

Условия, при которых эти уравнения фактически применимы и дают разумные результаты после решения обсуждаются Ciarlet.[8][9]

Уравнения в терминах функции напряжений Эйри

Три уравнения Фёппля — фон Кармана можно сократить до двух путем введения функции напряжения Эйри , где

Затем эти уравнения сводятся к[5]

Чистый изгиб

Для чистого изгиба тонких пластин уравнения равновесия , где

называется изгибной или цилиндрической жесткостью пластины.[5]

Кинематические предположения (гипотезы Кирхгофа)

При выводе уравнений Фёппля — фон Кармана предполагается верным следующее кинематическое соотношение (также известное как гипотеза Кирхгофа): нормали к поверхности пластины остаются перпендикулярными к пластине после деформации. Также предполагается, что перемещения в плоскости мембраны незначительны и изменения в толщине пластины пренебрежимо малы. Эти предположения подразумевают, что поле смещения u пластины можно выразить как[10]

где v — перемещения в плоскости мембраны. Такая форма поля перемещений неявно предполагает, что вращение пластины мало.

Соотношения между деформациями и перемещениями (деформации фон Кармана)

Компоненты трехмерного лагранжиана тензора деформаций Грина определяются как

Подстановка выражений для поля смещения даёт

Для малых деформаций, но умеренных поворотов, поправки высших порядков, которыми нельзя пренебюречь

Игнорируя все высшие порядки, и соблюдая требования о том, что пластина не меняет своей толщины, компоненты тензора деформации приводятся к виду деформаций фон Кармана

Соотношения напряжения–деформации

Если предположить, что компоненты тензора напряжений Коши линейно связаны с деформациями фон Кармана посредством закона Гука, пластина изотропная и однородная и, что пластина подвержена только плоским напряжениям[11] мы имеем σ33 = σ13 = σ23 = 0 и

Разлагая слагаемые получим три ненулевые напряжения

Результирующие напряжения

Результирующие напряжения в пластине определяются как

Поэтому

и

Решения легче найти, когда уравнения выражаются через результирующие напряжения, а не напряжения в плоскости.

Уравнения Фёппля — фон Кармана выраженные через результирующие напряжения

Уравнения Фёппля — фон Кармана как правило, получают с помощью энергетического подхода с учетом изменения внутренней энергии и виртуальную работу внешних сил. Аналогичный подход можно использовать для записи этих уравнений через результирующие напряжения. Определяющие уравнения

Ссылки
  1. Föppl А., "Ворлесунген über технический механик", Б. Г. Теубнер, бул. 5., С. 132, Лейпциг, Германия (1907)
  2. фон Kármán, т., "Festigkeitsproblem им Машиненбау," Encyk.
  3. Э. Серда и Л. Махадеван, 2003, "геометрия и физика Сморщивать" физ.
  4. Physics - Simplifying Crumpled Paper
  5. "Теория упругости".
  6. The 2-dimensional Laplacian, Δ, is defined as
  7. von Karman plate equations
  8. Ciarlet, P. G. (1990), Plates and Junctions in Elastic Multi-Structures, Springer-Verlag.
  9. Ciarlet, Philippe G. (1980), A justification of the von Kármán equations
  10. Ciarlet, Philippe G. (1980), A justification of the von Kármán equations, Archive for Rational Mechanics and Analysis Т. 73 (4): 349–389., DOI 10.1007/BF00247674
  11. Как правило, предположение о нулевой плоскости напряжений производится в этот момент.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.