Уравнение Чандрасекара

Для изотермической газовой звезды давление ${\displaystyle p}$ складывается из кинетического давления и давления излучения:

${\displaystyle p=\rho {\frac {k_{B}}{WH}}T+{\frac {4\sigma }{3c}}T^{4}}$,

где

• ${\displaystyle \rho }$ — плотность,
• ${\displaystyle k_{B}}$ — постоянная Больцмана,
• ${\displaystyle W}$ — средний молекулярный вес,
• ${\displaystyle H}$ — масса протона,
• ${\displaystyle T}$ — температура звезды,
• ${\displaystyle \sigma }$ — постоянная Стефана — Больцмана,
• ${\displaystyle c}$ — скорость света.

Уравнение для состояния равновесия звезды требует баланса между силой давления и силой гравитации:

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dp}{dr}}\right)=-4\pi G\rho ,}$

где ${\displaystyle r}$ равно радиусу, измеряемому от центра, ${\displaystyle G}$ является гравитационной постоянной. Уравнение переписывается в виде

${\displaystyle {\frac {k_{B}T}{WH}}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\ln \rho }{dr}}\right)=-4\pi G\rho .}$

Точное и асимптотическое решения

Вводя преобразования

${\displaystyle \psi =\ln {\frac {\rho _{c}}{\rho }},\quad \xi =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}WH}{k_{B}T}}\right)^{1/2},}$

где ${\displaystyle \rho _{c}}$ — плотность звезды в центральной части, получаем выражение

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\psi }{d\xi }}\right)=e^{-\psi }.}$

Граничные условия таковы:

${\displaystyle \xi =0:\quad \psi =0,\quad {\frac {d\psi }{d\xi }}=0.}$

При ${\displaystyle \xi \ll 1}$ решение близко к

${\displaystyle \psi ={\frac {\xi ^{2}}{6}}-{\frac {\xi ^{4}}{120}}+{\frac {\xi ^{6}}{1890}}+\cdot \cdot \cdot }$

Предположение об изотермичности сферы имеет некоторые недостатки. Хотя полученная при решении плотность изотермической газовой сферы уменьшается с удалением от центра, всё же уменьшение слишком медленное для того, чтобы получалась надёжно определяемая поверхность и масса сферы оказывалась конечной[4]. Можно показать, что при ${\displaystyle \xi \gg 1}$,

${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho _{c}}}=e^{-\psi }={\frac {2}{\xi ^{2}}}\left[1+{\frac {A}{\xi ^{1/2}}}\cos \left({\frac {\sqrt {7}}{2}}\ln \xi +\delta \right)+O(\xi ^{-1})\right]}$,

где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \delta }$ являются постоянными величинами, которые можно получить при численном решении. Такое поведение плотности приводит к увеличению массы при возрастании радиуса. Следовательно, модель обычно пригодна для описания ядер звёзд, где температура приблизительно постоянна.

Преобразование ${\displaystyle x=1/\xi }$ приводит уравнение к виду

${\displaystyle x^{4}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=e^{-\psi }.}$

Уравнение имеет особое решение вида

${\displaystyle e^{-\psi _{s}}=2x^{2},\quad {\text{or}}\quad -\psi _{s}=2\ln x+\ln 2.}$

Следовательно, можно ввести новую переменную ${\displaystyle -\psi =2\ln x+z,}$ при этом уравнение для ${\displaystyle z}$ можно вывести:

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {dz}{dt}}+e^{z}-2=0,\quad \quad t=\ln x.}$

Данное уравнение можно свести к уравнению первого порядка, вводя переменную

${\displaystyle y={\frac {dz}{dt}}=\xi {\frac {d\psi }{d\xi }}-2,}$

тогда

${\displaystyle y{\frac {dy}{dz}}-y+e^{z}-2=0.}$

Уравнение можно привести к другому виду. Пусть

${\displaystyle u={\frac {\xi e^{-\psi }}{d\psi /d\xi }},\quad v=\xi {\frac {d\psi }{d\xi }},}$

тогда

${\displaystyle {\frac {u}{v}}{\frac {dv}{du}}={\frac {u-1}{u+v-3}}.}$

• Если ${\displaystyle \psi (\xi )}$ является решением уравнения Чандрасекара, то ${\displaystyle \psi (A\xi )-2\ln A}$ также является решением уравнения при произвольной константе ${\displaystyle A}$.
• Решения уравнения Чандрасекара, являющиеся конечными в начале координат, удовлетворяют условию ${\displaystyle d\psi /d\xi =0}$ при ${\displaystyle \xi =0}$.