Уравнение Лейна — Эмдена

Рассмотрим самогравитирующее сферически-симметричное распределение жидкости в состоянии гидростатического равновесия. Масса сохраняется, вещество описывается уравнением неразрывности:

${\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho ,}$

где ${\displaystyle \rho }$ является функцией ${\displaystyle r}$. Уравнение гидростатического равновесия имеет вид

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}},}$

где ${\displaystyle m}$ также является функцией ${\displaystyle r}$. Повторное дифференцирование приводит к выражению

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho ,\end{aligned}}}$

где для замены градиента массы было применено уравнение непрерывности. Домножаем обе части равенства на ${\displaystyle r^{2}}$ и переносим слагаемые с производными ${\displaystyle P}$ в левой части:

${\displaystyle r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho .}$

Делим обе части на ${\displaystyle r^{2}}$, при этом получается в некотором смысле размерная форма требуемого уравнения. Если заменить политропное уравнение состояния на ${\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}}$ и ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}$,то равенство примет вид

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}.}$

Выполним подстановку ${\displaystyle r=\alpha \xi }$, где

${\displaystyle \alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G,}$

при этом получим уравнение Лейна — Эмдена,

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0.}$

Аналогично, можно начать вывод с уравнения Пуассона:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho .}$

Можно заменить градиент потенциала с помощью уравнения гидростатического равновесия:

${\displaystyle {\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}},}$

что снова даёт размерную форму искомого уравнения.

В случае сферически-симметричного распределения вещества уравнение Лейна — Эмдена интегрируется только для трёх значений индекса политропы ${\displaystyle n}$.

Если ${\displaystyle n=0}$, уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+1=0.}$

Перегруппируем слагаемые и проинтегрируем:

${\displaystyle \xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}.}$

Поделим обе части на ${\displaystyle \xi ^{2}}$, проинтегрируем:

${\displaystyle \theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}.}$

Граничные условия ${\displaystyle \theta (0)=1}$ и ${\displaystyle \theta '(0)=0}$ предполагают, что постоянные интегрирования равны ${\displaystyle C_{0}=1}$ и ${\displaystyle C_{1}=0}$. Следовательно,

${\displaystyle \theta (\xi )=1-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}.}$

Если ${\displaystyle n=1}$, уравнение можно представить в виде

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0.}$

Предположим, что решение можно представить в виде ряда

${\displaystyle \theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\xi ^{n}.}$

В таком случае получается рекуррентное соотношение для коэффициентов разложения:

${\displaystyle a_{n+2}=-{\frac {a_{n}}{(n+3)(n+2)}}.}$

Данное соотношение можно решить, получив общее решение:

${\displaystyle \theta (\xi )=a_{0}{\frac {\sin \xi }{\xi }}+a_{1}{\frac {\cos \xi }{\xi }}.}$

Граничное условие для физической политропы требует, чтобы ${\displaystyle \theta (\xi )\rightarrow 1}$ при ${\displaystyle \xi \rightarrow 0}$. Тогда ${\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=0}$, что даёт решение в виде

${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}.}$

Рассмотрим уравнение Лейна — Эмдена:

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+\theta ^{5}=0.}$

Для ${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}}$ получим

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right)^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{3/2}}}.}$

Дифференцируем по ξ:

${\displaystyle \theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{3/2}}}+{\frac {3\xi ^{2}}{9[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{5/2}}}={\frac {9}{9[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{5/2}}}.}$

После упрощения получаем

${\displaystyle \theta ^{5}={\frac {1}{[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{5/2}}}.}$

Таким образом, уравнение имеет решение

${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}}$

при ${\displaystyle n=5}$. Данное решение финитно по массе, но бесконечно по радиусу, следовательно, данная политропа не имеет физического решения.

В общем случае решения находят методами численного интегрирования. Многие стандартные методы предполагают, что задача формулируется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Например,

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\phi }{\xi ^{2}}},}$

${\displaystyle {\frac {d\phi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}.}$

Здесь ${\displaystyle \phi (\xi )}$ представляет собой безразмерную массу, определяемую как ${\displaystyle m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho _{c}\phi (\xi )}$. Соответствующими начальными условиями являются ${\displaystyle \phi (0)=0}$ и ${\displaystyle \theta (0)=1}$. Первое уравнение представляет собой уравнение гидростатического равновесия, второе — закон сохранения массы.

Известно, что если ${\displaystyle \theta (\xi )}$ является решением уравнения Лейна—Эмдена, то и ${\displaystyle C^{2/n+1}\theta (C\xi )}$ является решением.[2] Решения, связанные подобным образом, называются гомологичными, процесс перехода между ними — гомологией. Если переменные выбираются инвариантными по отношению к гомологии, томы можем уменьшить порядок уравнения на единицу.

Существует множество таких переменных. Одним из удобных вариантов является следующий:

${\displaystyle U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\phi }}}$

и

${\displaystyle V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\phi }{\xi \theta }}.}$

После дифференцирования логарифмов данных переменных по ${\displaystyle \xi }$ получим выражения

${\displaystyle {\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(3-n(n+1)^{-1}V-U)}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(-1+U+(n+1)^{-1}V)}$.

Затем разделим переменные на два уравнения для устранения зависимости от ${\displaystyle \xi }$, после чего получим выражение

${\displaystyle {\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}}\right),}$

являющееся уравнением первого порядка.

Гомологически инвариантное уравнение можно рассматривать как автономную пару уравнений

${\displaystyle {\frac {dU}{d\log \xi }}=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)}$

и

${\displaystyle {\frac {dV}{d\log \xi }}=V(U+(n+1)^{-1}V-1).}$

Поведение решений данных уравнений можно определить при анализе линейной устойчивости. Критические точки уравнения (где ${\displaystyle dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0}$) и собственные значения и векторы матрицы Якоби указаны в таблице ниже.[3]

${\displaystyle {\begin{array}{|l|l|l|}\hline {\text{Критические точки}}&{\text{Собственные числа}}&{\text{Собственные векторы}}\\\hline (0,0)&3,-1&(1,0),(0,1)\\(3,0)&-3,2&(1,0),(-3n,5+5n)\\(0,n+1)&1,3-n&(0,1),(2-n,1+n)\\\left({\dfrac {n-3}{n-1}},2{\dfrac {n+1}{n-1}}\right)&{\dfrac {n-5\pm \Delta _{n}}{2-2n}}&(1-n\mp \Delta _{n},4+4n)\\\hline \end{array}}}$