Уравнение Лондонов

Уравнение Лондонов (в некоторых источниках — уравнение Лондона) устанавливает связь между током и магнитным полем в сверхпроводниках. Впервые оно было получено в 1935 году братьями Фрицем и Хайнцем Лондонами[1]. Уравнение Лондонов дало первое удовлетворительное объяснение эффекта Мейсснера — спадания магнитного поля в сверхпроводниках. Затем в 1953 году было получено уравнение Пиппарда для чистых сверхпроводников.

Уравнение Лондона

В полной мере смысл механизма упорядочения в сверхпроводимости был впервые осознан физиком-теоретиком Фрицем Лондоном[2]. Осознав, что электродинамическое описание, основанное исключительно на уравнениях Максвелла, в пределе нулевого сопротивления неизбежно будет предсказывать необратимое поведение идеального проводника и не будет давать обратимый диамагнетизм сверхпроводника, Лондон ввёл дополнительное уравнение. Вид этого уравнения можно получить различными способами, например, путём минимизации свободной энергии относительно распределения тока и поля[3] или в предположении абсолютной жёсткости сверхпроводящих волновых функций по отношению к воздействию внешнего поля; для наших целей, однако, достаточно считать его интуитивной гипотезой, полностью оправдываемой своим успехом.

Уравнение, предложенное Лондоном, имеет вид

{\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\operatorname {rot} \mathbf {j} +\mathbf {B} =0,

где $\mathbf {j}$ — плотность тока, $\mathbf {B}$ — магнитная индукция, $\lambda ^{2}={\frac {mc^{2}}{4\pi nq^{2}}}$ , m и q — масса и заряд сверхпроводящих носителей тока, n — плотность этих носителей.

Лондоновская глубина проникновения

При помощи уравнения Максвелла $\operatorname {rot} \mathbf {B} ={\frac {4\pi \mathbf {j} }{c}}$ можно записать уравнение Лондона в виде[4]

\mathbf {B} '+\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {B} '=0,

где B′ — производная вектора B по времени t. Этому уравнению удовлетворяет B = const. Но такое решение не согласуется с эффектом Мейсснера-Оксенфельда, так как внутри сверхпроводника должно быть поле B = 0. Лишнее решение получилось потому, что при выводе дважды применялась операция дифференцирования по времени. Чтобы автоматически исключить это решение, Лондоны ввели гипотезу, что в последнем уравнении производную B′ следует заменить самим вектором B. Это даёт

\mathbf {B} +\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {B} =0.

Решение этого уравнения в сверхпроводящей области с линейными размерами, намного большими $\lambda$ , есть

\mathbf {B} (\xi )=\mathbf {B} (0)\exp {\frac {-\xi }{\lambda }},

где $\mathbf {B} (\xi )$ — индукция на глубине $\xi$ под поверхностью. Параметр $\lambda$ имеет размерность длины и называется лондоновской глубиной проникновения магнитного поля. То есть магнитное поле проникает в сверхпроводник лишь на глубину $\lambda$ . Для металлов $\lambda \sim 10^{-2}$ мкм.

Природа сверхпроводимости

Уравнение Лондона даёт ключ к пониманию природы сверхпроводящего упорядочения. Вводя векторный потенциал $\mathbf {A}$ , где $\operatorname {rot} \mathbf {A} =\mathbf {B}$ , используя калибровку $\operatorname {div} \mathbf {A} =0$ и рассматривая односвязный сверхпроводник, мы приходим к уравнению Лондона в форме

{\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\mathbf {j} +\mathbf {A} =0.

В присутствии векторного потенциала обобщённый импульс заряженной частицы даётся выражением

\mathbf {P} =\sum \mathbf {p} =2\sum \left(m\mathbf {v} +{\frac {q\mathbf {A} }{c}}\right)

.

Средний импульс на одну частицу можно записать в виде

{\bar {\mathbf {p} }}={\frac {q}{c}}\left({\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\mathbf {j} +\mathbf {A} \right)=0.

Следовательно, сверхпроводящий порядок обусловлен конденсацией носителей тока в состоянии с наименьшим возможным импульсом $\mathbf {P} =0$ . При этом из принципа неопределённости вытекает, что соответствующий пространственный масштаб упорядоченности бесконечен, то есть мы получаем бесконечную «когерентность» и невозможность воздействовать на систему электронов локализованными в пространстве полями.

Первое уравнение Лондонов

Уравнение движения для единичного объёма сверхпроводящих электронов в электрическом поле имеет вид

nm{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=ne\mathbf {E} ,

где $n$ , $\mathbf {v}$ , $m$ — соответственно концентрация, скорость и масса (сверхпроводящих) электронов. Вводя плотность сверхтока согласно $\mathbf {j} =ne\mathbf {v}$ , получим первое уравнение Лондонов:

\mathbf {E} ={\frac {d}{dt}}(\Lambda \mathbf {j} ),\quad \Lambda ={\frac {m}{ne^{2}}}.

Второе уравнение Лондонов (вывод)

Воспользуемся уравнениями Максвелла в виде

\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j}

для нахождения объёмной плотности кинетической энергии сверхпроводящих электронов:

\mathbf {W} _{k}={\frac {nmv^{2}}{2}}={\frac {mj^{2}}{2ne^{2}}}={\frac {\lambda ^{2}}{8\pi }}(\operatorname {rot} \mathbf {H} )^{2},

где $\lambda ^{2}={\frac {mc^{2}}{4\pi ne^{2}}}.$

Также объёмная плотность магнитной энергии равна ${\frac {H^{2}}{8\pi }}$ , тогда свободная энергия может быть записана в виде ( $F_{0}$ — свободная энергия без магнитного поля) интеграла по объёму сверхпроводника:

F=F_{0}+{\frac {1}{8\pi }}\int [H^{2}+\lambda ^{2}(\operatorname {rot} \mathbf {H} )^{2}]\,dV.

Первая вариация по полю равна

\delta F={\frac {1}{8\pi }}\int [2\mathbf {H} \,\delta \mathbf {H} +2\lambda ^{2}\operatorname {rot} \mathbf {H} \operatorname {rot} \delta \mathbf {H} ]\,dV={\frac {1}{4\pi }}\int [\mathbf {H} +\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {H} ]\,\delta \mathbf {H} \,dV-{\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}\int \operatorname {div} [\operatorname {rot} \mathbf {H

Учитывая, что второй интеграл равен нулю (по формуле Гаусса — Остроградского он сводится к интегралу по поверхности, где вариация полагается нулю), имеем

\mathbf {H} +\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {H} =0,

что вместе с выражением для векторного потенциала $\mathbf {j} =-{\frac {c}{4\pi \lambda ^{2}}}\mathbf {A}$ , первым уравнением Лондонов и выбором калибровки Лондонов $\operatorname {div} (\mathbf {A} )=0$ , $\mathbf {A} \mathbf {n} =0$ даёт искомое уравнение:

{\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\operatorname {rot} \mathbf {J} +\mathbf {B} =0.

См. также

Уравнение Пиппарда

Примечания

London, F.; H. London. The Electromagnetic Equations of the Supraconductor (англ.) // Proc. Roy. Soc. (London) : journal. — 1935. — March (vol. A149, no. 866). — P. 71.
F. London, Superfluids, Vol. 1. Wiley, New York, 1950.
P. G. de Gennes, Superconductivity of Metals and Alloys. Benjamin, New York. 1966 (см. перевод: М., «Мир», 1968).
Сивухин. Д. В. Общий курс физики. Учеб. пособие: Для вузов. В 5 т. Т III. Электричество. — 4-е издание. — М.: МФТИ, 2004. — С. 321–322. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3. — ISBN 5-89155-086-5.

Литература

Тилли Д. Р., Тилли Дж. Свехтекучесть и сверхпроводимость. — М.: Мир, 1977. — 304 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] London, F.; H. London. The Electromagnetic Equations of the Supraconductor (англ.) // Proc. Roy. Soc. (London) : journal. — 1935. — March (vol. A149, no. 866). — P. 71.

[2] F. London, Superfluids, Vol. 1. Wiley, New York, 1950.

[3] P. G. de Gennes, Superconductivity of Metals and Alloys. Benjamin, New York. 1966 (см. перевод: М., «Мир», 1968).

[4] Сивухин. Д. В. Общий курс физики. Учеб. пособие: Для вузов. В 5 т. Т III. Электричество. — 4-е издание. — М.: МФТИ, 2004. — С. 321–322. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3. — ISBN 5-89155-086-5.