Троичные коды Голея

Совершенный троичный код Голея
Назван в честь	Марсель Голей
Тип	блочный код
Длина блока	11
Длина сообщения	6
Доля	6/11 ~ 0.545
Расстояние	5
Размер алфавита	3
Обозначение	${\displaystyle [11,6,5]_{3}}$

Троичный код Голея состоит из 3⁶ = 729 кодовых слов. Его матрица проверки на чётность

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccccccccc}1&1&1&2&2&0&1&0&0&0&0\\1&1&2&1&0&2&0&1&0&0&0\\1&2&1&0&1&2&0&0&1&0&0\\1&2&0&1&2&1&0&0&0&1&0\\1&0&2&2&1&1&0&0&0&0&1\end{array}}\right].}$

Любое из двух различных кодовых слов отличаются по меньшей мере в 5 позициях. Любое троичное слово длины 11 имеет расстояние Хэмминга, не превосходящее 2 ровно от одного кодового слова. Код можно построить как квадратично-вычетный код длины 11 над конечным полем F₃.

Используемый в футбольных тотализаторах с 11 играми, троичный код Голея соответствует 729 ставкам и гарантирует ровно одну ставку с максимум 2 неправильными оценками.

Множество кодовых слов с весом Хэмминга 5 является блок-схемой 3-(11,5,4).

Расширенный троичный код Голея
Назван в честь	Марсель Голей
Тип	блочный код
Длина блока	12
Длина сообщения	6
Доля	6/12 = 0.5
Расстояние	6
Размер алфавита	3
Обозначение	${\displaystyle [12,6,6]_{3}}$

Полный весовой энумератор расширенного троичного кода Голея

${\displaystyle x^{12}+y^{12}+z^{12}+22\left(x^{6}y^{6}+y^{6}z^{6}+z^{6}x^{6}\right)+220\left(x^{6}y^{3}z^{3}+y^{6}z^{3}x^{3}+z^{6}x^{3}y^{3}\right).}$

Группой автоморфизмов расширенной троичной группы кодов является 2.M₁₂, где M₁₂ — группа Матьё M12.

Расширенный троичный код Голея можно построить как строки матрицы Адамара порядка 12 над полем F₃.

Рассмотрим все кодовые слова расширенного кода, которые имеют шесть ненулевых цифр. Множества позиций, в которых эти ненулевые цифры оказываются, образуют систему Штейнера S(5, 6, 12).