Теория Рамсея

Пусть даны числа ${\displaystyle a_{1},\;a_{2},\;\ldots ,\;a_{n}}$. Тогда существует такое число ${\displaystyle R}$, что, как бы мы ни покрасили рёбра полного графа на ${\displaystyle R}$ вершинах в ${\displaystyle n}$ цветов, найдётся либо полный подграф 1-го цвета на ${\displaystyle a_{1}}$ вершинах, либо полный подграф 2-го цвета на ${\displaystyle a_{2}}$ вершинах, … либо полный подграф ${\displaystyle n}$-го цвета на ${\displaystyle a_{n}}$ вершинах.[2]

Для всякого набора чисел ${\displaystyle a_{1},\;a_{2},\;\ldots ,\;a_{n}}$ существует такое число ${\displaystyle W}$, что, как бы мы ни покрасили первые ${\displaystyle W}$ натуральных чисел в ${\displaystyle n}$ цветов, найдётся либо арифметическая прогрессия 1-го цвета длины ${\displaystyle a_{1}}$, либо арифметическая прогрессия 2-го цвета длины ${\displaystyle a_{2}}$, …, либо арифметическая прогрессия ${\displaystyle n}$-го цвета длины ${\displaystyle a_{n}}$.[3]

Для любых чисел ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle c}$ можно найти число ${\displaystyle H}$ такое, что если ячейки ${\displaystyle H}$-мерного куба со стороной длины ${\displaystyle n}$ раскрашены в ${\displaystyle c}$ цветов, то существует хотя бы одна линия (линией считаются строки, столбцы, некоторые диагонали) из ${\displaystyle n}$ одноцветных ячеек.[4]

Для любого натурального ${\displaystyle N}$ всякое достаточно большое множество точек в общем положении на плоскости имеет подмножество ${\displaystyle N}$ точек, которые являются вершинами выпуклого многоугольника.[5]

Для всякой раскраски целых чисел больших ${\displaystyle 1}$ в ${\displaystyle r>0}$ цветов существует конечное одноцветное подмножество ${\displaystyle S}$ целых такое, что

${\displaystyle \sum _{n\in S}1/n=1.}$

При этом максимальный элемент, а значит и размер множества ${\displaystyle S}$, ограничен показательной функцией от ${\displaystyle r}$ с постоянным основанием.