Гипотеза Эрдёша — Грэма

Гипотеза Эрдёша — Грэма — предположение в комбинаторной теории чисел относительно проблемы разбиения множества целых чисел, больших единицы, на конечное число подмножеств, одно из которых можно использовать для образования египетской дроби, представляющей единицу. Эрдёш и Грэм высказали предположение, что для любого и любой -раскраски целых чисел, больших единицы, имеется конечное одноцветное подмножество этих целых чисел, такое что:

,

и максимальный элемент множества можно ограничить значением с некоторой константой , независимой от . Известно, что для верности этого утверждения необходимо, чтобы было не меньше числа .

Гипотеза доказана Эрнестом Крутом (англ. Ernest S. Croot, III) в 2003 году, установленная оценка очень велика — число должно быть не больше . Результат Крута вытекает из более общей теоремы, утверждающий о существовании представления единицы в виде египетской дроби для множеств гладких чисел в интервалах вида , где содержит достаточно много чисел, сумма обратных величин которых не меньше шести. Гипотеза Эрдёша — Грэма выводится из этого результата путём нахождения интервала, в котором сумма обратных величин всех гладких чисел будет как минимум . Таким образом, если целые числа -раскрашены, должно существовать одноцветное подмножество , удовлетворяющее условию теоремы Крута.

Примечания

    Ссылки


    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.