Гипотеза Эрдёша — Грэма

Гипотеза Эрдёша — Грэма — предположение в комбинаторной теории чисел относительно проблемы разбиения множества целых чисел, больших единицы, на конечное число подмножеств, одно из которых можно использовать для образования египетской дроби, представляющей единицу. Эрдёш и Грэм высказали предположение, что для любого ${\displaystyle r>0}$ и любой ${\displaystyle r}$-раскраски целых чисел, больших единицы, имеется конечное одноцветное подмножество ${\displaystyle S}$ этих целых чисел, такое что:

${\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1}$,

и максимальный элемент множества ${\displaystyle S}$ можно ограничить значением ${\displaystyle b^{r}}$ с некоторой константой ${\displaystyle b}$, независимой от ${\displaystyle r}$. Известно, что для верности этого утверждения необходимо, чтобы ${\displaystyle b}$ было не меньше числа ${\displaystyle e}$.

Гипотеза доказана Эрнестом Крутом (англ. Ernest S. Croot, III) в 2003 году, установленная оценка ${\displaystyle b}$ очень велика — число должно быть не больше ${\displaystyle e^{167000}}$. Результат Крута вытекает из более общей теоремы, утверждающий о существовании представления единицы в виде египетской дроби для множеств ${\displaystyle C}$ гладких чисел в интервалах вида ${\displaystyle [X,X^{1+\delta }]}$, где ${\displaystyle C}$ содержит достаточно много чисел, сумма обратных величин которых не меньше шести. Гипотеза Эрдёша — Грэма выводится из этого результата путём нахождения интервала, в котором сумма обратных величин всех гладких чисел будет как минимум ${\displaystyle 6r}$. Таким образом, если целые числа ${\displaystyle r}$-раскрашены, должно существовать одноцветное подмножество ${\displaystyle C}$, удовлетворяющее условию теоремы Крута.