Задача со счастливым концом

Этот результат комбинаторной геометрии назван Палом Эрдёшем «задачей со счастливым концом», поскольку решение проблемы завершилось свадьбой Дьёрдя Секереша и Эстер Клейн (венг. Eszter Klein). Известна также как «теорема Эрдёша — Секереша о выпуклых многоугольниках».

Обобщения результата на произвольное число точек являются предметом интереса математиков XX и XXI веков.

Если не менее четырёх точек образуют выпуклую оболочку, в качестве выпуклого четырёхугольника можно выбрать любой набор из четырёх точек оболочки. В противном случае имеется треугольник и две точки внутри него. Прямая, проходящая через две внутренние точки, в силу общего положения точек не пересекает одну из сторон треугольника. Вершины этой стороны и две внутренние точки образуют выпуклый четырёхугольник.

Эрдёш и Секереш обобщили этот результат на произвольное число точек, что является оригинальным развитием теории Рамсея. Они также выдвинули «гипотезу Эрдёша — Секереша» — точную формулу для максимального числа вершин выпуклого многоугольника, обязательно существующего в множестве из заданного числа точек в общем положении.

Восемь точек в общем положении для которых нет выпуклого пятиугольника.

В (Erdős & Szekeres 1935) доказано следующее обобщение: для любого натурального ${\displaystyle N}$, всякое достаточно большое множество точек в общем положении на плоскости имеет подмножество ${\displaystyle N}$ точек, которые являются вершинами выпуклого многоугольника. Это доказательство появилось в той же статье, где доказывается теорема Эрдёша — Секереша о монотонных подпоследовательностях в числовых последовательностях.

Пусть ${\displaystyle f(N)}$ означает минимальное ${\displaystyle M}$, для которого любое множество из ${\displaystyle M}$ точек в общем положении содержит выпуклый ${\displaystyle N}$-угольник. Известно, что:

• ${\displaystyle f(3)=3}$, очевидно.
• ${\displaystyle f(4)=5}$, доказала Эстер Секереш.
• ${\displaystyle f(5)=9}$, согласно (Erdős & Szekeres 1935), это первым доказал Э. Макаи; первое опубликованное доказательство появилось в (Kalbfleisch, Kalbfleisch & Stanton 1970). Множество из восьми точек не содержащее выпуклый пятиугольник на иллюстрации показывает, что ${\displaystyle f(5)>8}$; сложнее доказать, что любое множество из девяти точек в общем положении содержит выпуклый пятиугольник.
• ${\displaystyle f(6)=17}$, это было доказано в (Szekeres & Peters 2006). В работе реализован сокращённый компьютерный перебор возможных конфигураций из 17 точек.
• Значения ${\displaystyle f(N)}$ неизвестны для ${\displaystyle N>6}$.

Исходя из известных значений ${\displaystyle f(N)}$ для ${\displaystyle N=3,4,5}$, Эрдёш и Секереш предположили, что:

${\displaystyle f(N)=1+2^{N-2}}$ для всех ${\displaystyle N}$.

Эта гипотеза не доказана, но известны оценки сверху и снизу.

Конструктивным построением авторы гипотезы сумели позднее доказать оценку снизу, совпадающую с гипотетическим равенством:

${\displaystyle f(N)\geq 1+2^{N-2}}$, (Erdős & Szekeres 1961)

Однако наилучшая известная оценка сверху при ${\displaystyle N\geq 7}$ не является близкой:

${\displaystyle f(N)\leq {2N-5 \choose N-2}+1=O\left({\frac {4^{N}}{\sqrt {N}}}\right)}$, (Tóth & Valtr 2005)

(использованы биномиальные коэффициенты).

Интересен также вопрос о том, содержит ли достаточно большое множество точек в общем положении пустой выпуклый четырёхугольник, пятиугольник, и так далее. То есть многоугольник, не содержащий внутренних точек.

Если внутри четырёхугольника, существующего согласно теореме со счастливым концом, есть точка, то, соединив эту точку с двумя вершинами диагонали, мы получим два четырёхугольника, один из которых выпуклый и пустой. Таким образом, пять точек в общем положении содержат пустой выпуклый четырёхугольник, как видно на иллюстрации. Любые десять точек в общем положении содержит пустой выпуклый пятиугольник (Harborth 1978). Однако существуют сколь угодно большие множества точек в общем положении, которые не содержат пустой выпуклый семиугольник.(Horton 1983)

Таким образом, задача о пустых многоугольниках не является проблемой теории Рамсея и в принципе решена.

Вопрос о существовании пустого шестиугольника долгое время оставался открытым. Но в (Nicolás 2007) и (Gerken 2008) было доказано, что всякое достаточно большое множество точек в общем положении содержит пустой шестиугольник. Сегодня известно, что это множество должно содержать не более f(9) (предположительно 129) и не менее 30 точек.(Overmars 2003).

• Happy ending problem Архивная копия от 25 сентября 2006 на Wayback Machine and Ramsey-theoretic proof of the Erdős-Szekeres theorem on PlanetMath
• Weisstein, Eric W. Happy End Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.