Теорема о расщеплении

Теорема о расщеплении — классическая теорема в римановой геометрии.

Формулировка

Предположим, в полном римановом многообразии с неотрицательной кривизной Риччи имеется прямая, то есть геодезическая , такая, что

для всех

Тогда изометрично произведению

где есть риманово многообразие с неотрицательной кривизной Риччи.

Более того, можно показать, что для некоторого .

История

Для поверхностей теорема была доказана Кон-Фоссеном.[1] Топоногов обобщил её на многообразия с неотрицательной секционной кривизной.[2] Чигер и Громолл доказали, что неотрицательность кривизны Риччи является достаточным условием.[3]

Позже аналогичная теорема была доказана для лоренцевых многообразий с неотрицательной кривизной Риччи во времениподобных направлениях.[4][5][6]

Ссылки

  1. S. Cohn-Vossen, “Totalkrümmung und geodätische Linien auf einfachzusammenhängenden offenen vollständigen Flächenstücken”, Матем. сб., 1(43):2 (1936), 139–164; Перевод на русский А. С. Солодовникова, «Полная кривизна и геодезические линии на односвязных открытых полных поверхностях», с. 249—287 в книге Кон-Фоссен, С. Э. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. — Государственное Издательство Физико-Математической Литературы, 1959. — 303 с.
  2. Toponogov, V. A. Riemannian spaces containing straight lines.
  3. Jeff Cheeger; Detlef Gromoll, The splitting theorem for manifolds of nonnegative Ricci curvature, Journal of Differential Geometry 6 (1971/72), 119128.
  4. Eschenburg, J.-H. The splitting theorem for space-times with strong energy condition.
  5. Galloway, Gregory J.(1-MIAM) The Lorentzian splitting theorem without the completeness assumption.
  6. Newman, Richard P. A. C. A proof of the splitting conjecture of S.-T. Yau.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.