Теорема Фенхеля — Моро

Теорема Фенхеля — Моро — необходимое и достаточное условие того, что вещественнозначная функция равна своему двоекратному выпуклому сопряжению. При этом для любой функции верно, что [1][2].

Функция, которая не полунепрерывна снизу. По теореме Фенхеля — Моро, эта функция не равна своей второй сопряжённой.

Утверждение можно рассматривать как обобщение теоремы о биполяре[1]. Она используется в теории двойственности для доказательства сильной двойственности (через функцию возмущений).

Теорема доказана для конечномерного случая Вернером Фенхелем в 1949 году и для бесконечномерного — Жан-Жаком Моро в 1960 году[3].

Утверждение теоремы

Пусть будет хаусдорфовым локально выпуклым пространством. Для любой функции со значениями на расширенной числовой прямой следует, что , где  — выпуклое сопряжение к , тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

  1. является собственной выпуклой функцией полунепрерывной снизу и выпуклой функцией,
  2. , или
  3. [1][4][5].

В геометрической формулировке теорема утверждает, что необходимым и достаточным условием того, чтобы надграфик функции был пересечением надграфиков аффинных функций, является выпуклость и замкнутость этой функции[3].

Примечания
  1. Borwein, Lewis, 2006, с. 76–77.
  2. Zălinescu, 2002, с. 75–79.
  3. Тихомиров В. Геометрия выпуклости // Квант. — 2003. — № 4.
  4. Lai, Lin, 1988, с. 85–90.
  5. Koshi, Komuro, 1983, с. 178–181.

Литература
  • Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи. — УМН. — 1968. — Т. 23, № 6(144). — С. 51–116.
  • Стрекаловский А.С. Введение в выпуклый анализ. — Иркутский государственный университет, 2009.
  • Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — ISBN 9780387295701.
  • Constantin Zălinescu. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc., 2002. — ISBN 981-238-067-1.
  • Hang-Chin Lai, Lai-Jui Lin. The Fenchel-Moreau Theorem for Set Functions // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1988. — Май (vol. 103). — doi:10.2307/2047532.
  • Shozo Koshi, Naoto Komuro. A generalization of the Fenchel–Moreau theorem // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.. — 1983. — Т. 59, вып. 5.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.