Теорема Фари — Милнора о повороте узла

Теоре́ма Фа́ри — Ми́лнора — утверждает что вариация поворота любого узла превышает $4\cdot \pi$ .

История

Вопрос был сформулирован Каролем Борсуком и доказан независимо тремя математиками: Иштваном Фари, Хайнцем Хопфом в 1949 и Джоном Милнором в 1950. Хайнц Хопф не опубликовал своё доказательство. Об этом доказательстве говорит замечание добавленное Иштваном Фари к гранкам своей статьи. В нём говориться, что Хопф использовал работу Эркики Панвиц о существовании прямой пересекающей узел в четырёх точках.

Формулировка

Пусть $K$ — узел в трёхмерном евклидовом пространстве. Если вариация поворота $K$ не превосходит $4\cdot \pi$ то узел $K$ — тривиальный.

В частности, если $K$ гладкий узел и $k=k(p)$ — его кривизна в точке $p$ , то

\int \limits _{K}k\leqslant 4\cdot \pi ,

влечёт, что узел $K$ — тривиальный.

О доказательствах

Доказательство Милнора основано на варианте формулы Крофтона для вариации поворота кривой и простом факте, что проекция узла на любую прямую имеет хотя бы 4 точки поворота. Доказательство Фари более сложное, оно также использует аналог формулы Крофтона для вариации поворота кривой и нетривиальный факт что вариация поворота проекции узла на любую плоскость не меньше $4\cdot \pi$ .

Доказательство Александер и Бишопа более элементарно, оно не использует формулы Крофтона и основывается на многократном использовании факта, что вариация поворота вписанной ломаной не превосходит вариации поворота кривой.

Другое доказательство основанно на существовании альтернированной четырёхкратной секущей. То есть для любого узла можно найти прямую, пересекающую его в четырёх токах $a,b,c,d$ которые появляются на прямой в том же порядке, а на кривой в порядке $a,c,b,d$ .[1] По всей видимости это и есть доказательство найденное, но не опубликованное Хайнцем Хопфом.

Также есть доказательство основанное на использовании минимальных поверхностей, оно опирается на тот факт, если поворот кривой не превосходит $4\cdot \pi$ , то диск с границей на кривой, минимизирущий площадь является вложенным.[2]

Вариации и обобщения

Верно также, что любая замкнутая простая кривая в CAT(0)-пространстве с вариацией поворота меньше чем $4\cdot \pi$ ограничивает вложенный диск[3].

См. также

Теорема Фенхеля о повороте кривой

Примечания

Denne, Elizabeth Jane (2004), Alternating quadrisecants of knots, Ph.D. thesis, University of Illinois at Urbana-Champaign.
Ekholm T., White B., Wienholtz, D. Embeddedness of minimal surfaces with total boundary curvature at most 4π (англ.) // Ann. Math.. — 2002. — P. 209–234.
Alexander, Stephanie B.; Bishop, Richard L. The Fary–Milnor theorem in Hadamard manifolds (англ.) // Proc. Amer. Math. Soc.. — 1998. — Vol. 126, no. 11. — P. 3427–3436.

Литература

I. Fary, Sur la courbure totale d’une courbe gauche faisant un nœud, Bulletin de la Société Mathématique de France, 77 (1949), 128—138.

Karol Borsuk. Sur la courbure totale des courbes fermées. Ann. Soc. Polon. Math. 20 (1947), 251–265 (1948).

J.W. Milnor, On the total curvature of knots, Annals of Mathematics, 52 (1950), 248—257.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Denne, Elizabeth Jane (2004), Alternating quadrisecants of knots, Ph.D. thesis, University of Illinois at Urbana-Champaign.

[2] Ekholm T., White B., Wienholtz, D. Embeddedness of minimal surfaces with total boundary curvature at most 4π (англ.) // Ann. Math.. — 2002. — P. 209–234.

[3] Alexander, Stephanie B.; Bishop, Richard L. The Fary–Milnor theorem in Hadamard manifolds (англ.) // Proc. Amer. Math. Soc.. — 1998. — Vol. 126, no. 11. — P. 3427–3436.