Теорема Клеро

Теоре́ма Клеро́ — закон, описывающий зависимость между параметрами сфероида, силой тяжести на его поверхности и коэффициентами разложения гравитационного потенциала. Опубликован в 1743 году французским математиком А. Клеро в работе фр. Théorie de la figure de la Terre, tirée des principes de l'hydrostatique («Теория формы Земли, извлечённая из принципов гидростатики»)[1], где Клеро привёл физические и геодезические доказательства того, что Земля имеет форму сплюснутого эллипсоида вращения[2][3]. Выведенная Клеро закономерность позволяла рассчитать параметры земного эллипсоида на основе измерений силы тяжести на разных широтах.

Слово «Клеро» имеет и другие значения.
Рисунок 1: Эллипсоид вращения
Рисунок 2: Каркас эллипсоида (сплюснутый сфероид)

Формула Клеро для ускорения силы тяжести g на поверхности Земли на широте выглядит следующим образом[4][5]:

где G — значение ускорения силы тяжести на экваторе, m — отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе и f — величина сплюснутости земного эллипсоида, определяемая как:

(где a — большая полуось, b — малая полуось Земли соответственно).

Вышеприведённую формулу Клеро рассматривал как справедливую при условии, что рассматривается гидростатически равновесная модель, где массы распределены в виде тонких сфероидальных слоев[6]. Впоследствии Пьер Лаплас смягчил исходное предположение, предположив, что поверхности равной плотности являются сфероидами[7]. Дж. Стокс в 1849 году показал, что, если известна поверхность планеты, являющаяся поверхностью уровня, которая охватывает все массы, известны также планетоцентрическая гравитационная постоянная и угловая скорость вращения, то гравитационное поле может быть однозначно определено во внешнем пространстве[8].

Реальная форма Земли является результатом взаимодействия между силой тяготения и центробежной силой, вызванной вращением Земли вокруг своей оси[9][10]. В своих «Началах» Исаак Ньютон предложил считать Землю эллипсоидом вращения с коэффициентом сплюснутости f, равным 1/230[11][12]. Применяя теорему Клеро, Лаплас на основе 15 измерений величины силы тяжести получил оценку: F = 1/330. Современная оценка этой величины: 1/298,25642[13].

Уравнение Сомильяны

Вышеприведённая формула Клеро для расчёта величины земного тяготения впоследствии была заменена более точным уравнением Сомильяны (выведено итальянским математиком Карло Сомильяной):

где для Земли: G = 9,7803267714 м/с²; k = 0,00193185138639 ; e = 0,00669437999013[14].

См. также

Примечания
  1. From the catalogue of the scientific books in the library of the Royal Society.
  2. Wolfgang Torge. Geodesy: An Introduction. — 3rd. — Walter de Gruyter, 2001. — С. 10. — ISBN 3-11-017072-8.
  3. Edward John Routh. A Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples (англ.). — Adamant Media Corporation, 2001. — Vol. Vol. 2. — P. 154. — ISBN 1-4021-7320-2. A reprint of the original work published in 1908 by Cambridge University Press.
  4. W. W. Rouse Ball. A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908).
  5. Walter William Rouse Ball. A short account of the history of mathematics (англ.). — 3rd. — Macmillan Publishers, 1901. — P. 384.
  6. Poynting, John Henry; Joseph John Thompson. A Textbook of Physics, 4th Ed. — London: Charles Griffin & Co., 1907. — С. 22—23.
  7. Isaac Todhunter. A History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth from the Time of Newton to that of Laplace (англ.). — Elibron Classics. — Vol. Vol. 2. — ISBN 1-4021-1717-5. Reprint of the original edition of 1873 published by Macmillan and Co.
  8. Теорема Стокса
  9. John P. Vinti, Gim J. Der, Nino L. Bonavito. Orbital and Celestial Mechanics. — American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1998. — С. 171. — (Progress in astronautics and aeronautics, v. 177). — ISBN 1-56347-256-2.
  10. Arthur Gordon Webster. The Dynamics of Particles and of Rigid, Elastic, and Fluid Bodies: being lectures on mathematical physics (англ.). — B.G. Teubner, 1904. — P. 468.
  11. Isaac Newton: Principia Book III Proposition XIX Problem III, p. 407 in Andrew Motte translation.
  12. See the Principia on line at Andrew Motte Translation
  13. Table 1.1 IERS Numerical Standards (2003))
  14. Eq. 2.57 in MIT Essentials of Geophysics OpenCourseWare notes
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.