Теорема Бёрнсайда

Теорема Бёрнсайда — классическая теорема теории конечных групп.

Теорема была доказана Вильямом Бёрнсайдом в начале XX века.[1] Теорема Бёрнсайда долгое время была наиболее известным приложением теории представлений к теории групп. Доказательство без использования характеров группы было найдено Голдсмитом гораздо позже.[2]

Формулировка

Пусть группа имеет порядок , где и  — простые числа. Тогда  — разрешима.

Замечания
  • Из теоремы следует, что каждая неабелева конечная простая группа имеет порядок, делящийся на три различных простых числа.

Схема доказательства Бёрнсайда
  1. Используя математическую индукцию, достаточно доказать, что простая группа данного порядка — абелева[3].
  2. По теореме Силова, группа имеет либо нетривиальный центр, либо класс сопряженности размера для некоторого . В первом случае, поскольку центр является нормальной подгруппой группы , она должна совпадать с центром, а значит являться абелевой. Значит верен второй случай — существует элемент группы , такой что класс сопряжённости элемента имеет размер .
  3. Используя свойства ортогональности характеров группы и свойства алгебраических чисел, можно доказать существование нетривиального неприводимого характера группы такого, что .
  4. Из простоты группы следует, что любое комплексное неприводимое представление характера верно (или точно), и отсюда следует, что принадлежит центру группы , что противоречит тому, что размер класса сопряжённости больше 1.

Вариации и обобщения
  • Наименьшее простое число в разложении порядка неразрешимой конечной группы, входит в разложение в степени хотя бы 2.

Примечания
  1. Burnside, W. (1904), On Groups of Order pαqβ, Proc. London Math. Soc. (no. s2-1 (1)): 388–392, doi:10.1112/plms/s2-1.1.388, <https://zenodo.org/record/1433459/files/article.pdf>
  2. Goldschmidt, David M. (1970), A group theoretic proof of the paqb theorem for odd primes, Math. Z. Т. 113: 373–375, DOI 10.1007/bf01110506
  3. Скорняков Л. А. Элементы алгебры. — М.: Наука, 1986. — С. 228-229. — Тираж 21 000 экз.

Литература
  • James, Gordon; and Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2 издание.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X. Глава 31.
  • Fraleigh, John B. (2002) A First Course in Abstract Algebra (7 издание). Addison Wesley. ISBN 0-201-33596-4.

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.