Телеграфные уравнения

Когда элементы ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle G}$ малы, их значением можно пренебречь, линия электрической связи при этом считается идеальной. В этом случае модель зависит только от элементов ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle C}$, мы получаем пару дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, одна функция описывает распределение напряжения ${\displaystyle U}$ вдоль линии, а другая — распределение тока ${\displaystyle I}$, обе функции зависят от координаты ${\displaystyle x}$ и времени ${\displaystyle t}$[1][2][3][4][5][6][7]:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}U(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t),}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}U(x,t).}$

Эти уравнения можно совместить для получения двух отдельных волновых уравнений:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}U={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}U,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}I={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}I.}$

В гармоническом случае (считая, что волна синусоидальная) ${\displaystyle E=E_{0}\cdot e^{-j\omega ({\frac {x}{c}}-t)}}$, уравнения упрощаются до

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot U(x)=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot I(x)=0,}$

где ${\displaystyle \omega }$ — частота стационарной волны.

Если линия является бесконечно длинной или оканчивается характеристическим комплексным сопротивлением, уравнения показывают присутствие волны, распространяющейся со скоростью ${\displaystyle v=1/{\sqrt {LC}}}$.

Такая скорость распространения применима к волновым явлениям и не учитывает дрейфовую скорость электрона. Другими словами, электрический импульс распространяется со скоростью, очень близкой к скорости света, несмотря на то, что сами электроны перемещаются со скоростью всего несколько сантиметров в секунду. Можно показать, что эта скорость в коаксиальной линии, сделанной из идеальных проводников, разделенных вакуумом, равна скорости света[8][9].

Когда элементами ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle G}$ нельзя пренебречь, первоначальные дифференциальные уравнения, описывающие элементарный участок, принимают вид:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}U(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t),}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}U(x,t)-GU(x,t).}$

Дифференцируя первое уравнение по ${\displaystyle x}$ и второе по ${\displaystyle t}$, после проведения некоторых алгебраических преобразований, мы получим пару гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых содержит по одной неизвестной:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}U=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}U+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}U+GRU,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}I=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}I+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI.}$

Если потери линии малы (малые ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle G=0}$), сигнал будет затухать с увеличением расстояния как ${\displaystyle e^{-\alpha x}}$, где ${\displaystyle \alpha =R/(2Z_{0})}$.

Эти уравнения похожи на уравнение однородной волны с дополнительными условиями над ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle I}$ и их первыми производными. Дополнительные условия вызывают затухание и рассеяние сигнала в течение времени и с увеличением расстояния.

Волновые уравнения, описанные выше, учитывают, что распространение волны может быть прямым и обратным. Учитывая упрощение линии без потерь (полагая ${\displaystyle R=0}$ и ${\displaystyle G=0}$), решение может быть представлено в виде

${\displaystyle U(x,t)=f_{1}(\omega t-kx)+f_{2}(\omega t+kx),}$

где:

${\displaystyle k=\omega {\sqrt {LC}}=\omega /v,}$

${\displaystyle k}$ называется волновым числом и измеряется в радианах на метр,

${\displaystyle \omega }$ — угловая частота (в радианах в секунду),

${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ могут быть любыми функциями, и

${\displaystyle v=1/{\sqrt {LC}}}$ — скорость распространения волны (или фазовая скорость).

${\displaystyle f_{1}}$ представляет волну, идущую в положительном направлении оси ${\displaystyle x}$ (слева направо), ${\displaystyle f_{2}}$ представляет волну, идущую справа налево. Можно заметить, что мгновенное значение напряжения в любой точке ${\displaystyle x}$ линии является суммой напряжений, вызванных обеими волнами.

Так как зависимость между током ${\displaystyle I}$ и напряжением ${\displaystyle U}$ описывается телеграфными уравнениями, можно записать:

${\displaystyle I(x,t)={\frac {f_{1}(\omega t-kx)}{Z_{0}}}-{\frac {f_{2}(\omega t+kx)}{Z_{0}}},}$

где ${\displaystyle Z_{0}}$ — волновое сопротивление линии передачи, которое для линии без потерь можно найти как

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}.}$

Решение телеграфных уравнений есть, например, на с. 348 в примере 80 (плюс решение примера 79 на с. 347—348) в книге[10].