Структурная теорема для конечнопорождённых модулей над областями главных идеалов

Каждый конечнопорождённый модуль M над областью главных идеалов R изоморфен единственному модулю вида

${\displaystyle \bigoplus _{i}R/(d_{i})=R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n}),}$

где ${\displaystyle (d_{i})\neq R}$ и ${\displaystyle d_{i}\vert d_{i+1}}$ (то есть ${\displaystyle d_{i+1}}$ делится на ${\displaystyle d_{i}}$). Порядок ненулевых ${\displaystyle (d_{i})}$ определён однозначно, как и число ${\displaystyle (d_{i})=0}$.

Таким образом, для указания конечнопорождённого модуля M достаточно указать ненулевые ${\displaystyle (d_{i})}$ (удовлетворяющие двум условиям) и число равных нулю ${\displaystyle (d_{i})}$. Элементы ${\displaystyle d_{i}}$ определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца и называются инвариантными факторами.

Каждый конечнопорождённый модуль M над областью главных идеалов R изоморфен единственному модулю вида

${\displaystyle \bigoplus _{i}R/(q_{i}),}$

где ${\displaystyle (q_{i})\neq R}$ и все ${\displaystyle (q_{i})}$ — примарные идеалы. При этом сами ${\displaystyle q_{i}}$ определены однозначно (с точностью до умножения на обратимые элементы).

В случае, когда кольцо R является евклидовым, все примарные идеалы — это степени простых, то есть ${\displaystyle (q_{i})=(p_{i}^{r_{i}})}$.

Многие области главных идеалов являются также евклидовыми кольцами. К тому же, доказательство для евклидовых колец несколько проще; здесь приводятся его основные шаги.

Лемма. Пусть A — евклидово кольцо, M — свободный A-модуль, а N — его подмодуль. Тогда N также свободен, его ранг не превосходит ранга M, причём существует такой базис {e₁, e₂, … e_m} модуля M и такие ненулевые элементы {u₁, … u_k} кольца A, что {u₁e₁, … u_ke_k} — базис N и u_i+1 делится на u_i.

Доказательство того, что N свободен, проводится индукцией по m. База m = 0 очевидна, докажем шаг индукции. Пусть M₁ порождён элементами {e₁, … e_m-1}, N₁ — пересечение M₁ и N — по предположению индукции свободен. Последние координаты элементов N в базисе {e₁, … e_m} образуют подмодуль кольца A (то есть идеал), A — кольцо главных идеалов, поэтому этот идеал порождён одним элементом; если идеал нулевой — N совпадает с N₁, если же он порождён элементом k, достаточно добавить в базис N₁ один вектор, последняя координата которого равна k.

Теперь мы можем написать матрицу с элементами из A, соответствующую вложению N в M: в столбцах матрицы запишем координаты базисных бекторов N в некотором базисе M. Опишем алгоритм приведения этой матрицы к диагональному виду элементарными преобразованиями. Меняя местами строки и столбцы, переместим в верхний левый угол ненулевой элемент a с наименьшей нормой. Если все элементы матрицы на него делятся — вычитаем первую строку из остальных с таким коэффициентом, чтобы все элементы первого столбца (кроме первого элемента) стали нулевыми; затем аналогичным образом вычитаем первый столбец и переходим к преобразованиям оставшегося в правом нижнем углу квадрата, размерность которого на единицу меньше. Если же есть элемент b, не делящийся на a — мы можем уменьшить минимум нормы по ненулевым элементам матрицы, применив к паре (a, b) алгоритм Евклида (элементарные преобразования позволяют это сделать). Поскольку норма — натуральное число, мы рано или поздно придём к ситуации, когда все элементы матрицы делятся на a. Легко видеть, что по окончанию работы этого алгоритма базисы M и N удовлетворяют всем условиям леммы.

Окончание доказательства. Рассмотрим конечнопорождённый модуль T с системой порождающих {e₁, … e_m}. Существует гомоморфизм из свободного модуля ${\displaystyle A^{m}}$ в этот модуль, отображающий базис ${\displaystyle A^{m}}$ в систему порождающих. Применив к этому отображению теорему о гомоморфизме, получим, что T изоморфен фактору ${\displaystyle A^{m}/{\text{ker}}f}$. Приведём базисы ${\displaystyle A^{m}}$ и ${\displaystyle {\text{ker}}f}$ к виду базисов в лемме. Легко видеть, что

${\displaystyle A^{m}/(u_{1}e_{1},u_{2}e_{2},\ldots u_{k}e_{k})\cong A/(u_{1})\oplus \ldots \oplus A/(u_{k})\oplus A^{n-k}}$

Каждое конечное слагаемое здесь можно разложить в произведение примарных, так как кольцо A факториально (см. статью Китайская теорема об остатках). Чтобы доказать единственность этого разложения, нужно рассмотреть подмодуль кручения (тогда размерность свободной части описывается в инвариантных терминах как размерность фактора по кручению), а также подмодуль p-кручения для каждого простого элемента p кольца A. Число слагаемых вида ${\displaystyle A/(p^{n})}$ (для всех n) инвариантно описывается как размерность подмодуля элементов, аннулируемых умножением на p, как векторного пространства над полем ${\displaystyle A/(p)}$.