Структурная теорема для конечнопорождённых модулей над областями главных идеалов

Структурная теорема для конечнопорождённых модулей над областями главных идеалов является обобщением теоремы о классификации конечнопорождённых абелевых групп. Эта теорема предоставляет общий способ понимания некоторых результатов о канонических формах матриц.

Теорема

Если векторное пространство над полем k имеет конечное порождающее множество, из него всегда можно выбрать базис, так что векторное пространство будет изоморфно kn. Для конечнопорождённых модулей это уже неверно (контрпример — , который порождается одним элементом как Z-модуль), однако такой модуль можно представить как фактормодуль вида Rn/A (чтобы увидеть это, достаточно отобразить базис Rn в порождающее множество и воспользоваться теоремой о гомоморфизме). Изменяя выбор базиса в Rn и порождающего множества в модуле, можно привести этот фактор к простому виду, и это даёт структурную теорему.

Формулировка структурной теоремы обычно приводится в двух различных видах.

Разложение на инвариантные факторы

Каждый конечнопорождённый модуль M над областью главных идеалов R изоморфен единственному модулю вида

где и (то есть делится на ). Порядок ненулевых определён однозначно, как и число .

Таким образом, для указания конечнопорождённого модуля M достаточно указать ненулевые (удовлетворяющие двум условиям) и число равных нулю . Элементы определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца и называются инвариантными факторами.

Разложение на примарные факторы

Каждый конечнопорождённый модуль M над областью главных идеалов R изоморфен единственному модулю вида

где и все  — примарные идеалы. При этом сами определены однозначно (с точностью до умножения на обратимые элементы).

В случае, когда кольцо R является евклидовым, все примарные идеалы — это степени простых, то есть .

Набросок доказательства для евклидовых колец

Многие области главных идеалов являются также евклидовыми кольцами. К тому же, доказательство для евклидовых колец несколько проще; здесь приводятся его основные шаги.

Лемма. Пусть A — евклидово кольцо, M — свободный A-модуль, а N — его подмодуль. Тогда N также свободен, его ранг не превосходит ранга M, причём существует такой базис {e1, e2, … em} модуля M и такие ненулевые элементы {u1, … uk} кольца A, что {u1e1, … ukek} — базис N и ui+1 делится на ui.

Доказательство того, что N свободен, проводится индукцией по m. База m = 0 очевидна, докажем шаг индукции. Пусть M1 порождён элементами {e1, … em-1}, N1 — пересечение M1 и N — по предположению индукции свободен. Последние координаты элементов N в базисе {e1, … em} образуют подмодуль кольца A (то есть идеал), A — кольцо главных идеалов, поэтому этот идеал порождён одним элементом; если идеал нулевой — N совпадает с N1, если же он порождён элементом k, достаточно добавить в базис N1 один вектор, последняя координата которого равна k.
Теперь мы можем написать матрицу с элементами из A, соответствующую вложению N в M: в столбцах матрицы запишем координаты базисных бекторов N в некотором базисе M. Опишем алгоритм приведения этой матрицы к диагональному виду элементарными преобразованиями. Меняя местами строки и столбцы, переместим в верхний левый угол ненулевой элемент a с наименьшей нормой. Если все элементы матрицы на него делятся — вычитаем первую строку из остальных с таким коэффициентом, чтобы все элементы первого столбца (кроме первого элемента) стали нулевыми; затем аналогичным образом вычитаем первый столбец и переходим к преобразованиям оставшегося в правом нижнем углу квадрата, размерность которого на единицу меньше. Если же есть элемент b, не делящийся на a — мы можем уменьшить минимум нормы по ненулевым элементам матрицы, применив к паре (a, b) алгоритм Евклида (элементарные преобразования позволяют это сделать). Поскольку норма — натуральное число, мы рано или поздно придём к ситуации, когда все элементы матрицы делятся на a. Легко видеть, что по окончанию работы этого алгоритма базисы M и N удовлетворяют всем условиям леммы.

Окончание доказательства. Рассмотрим конечнопорождённый модуль T с системой порождающих {e1, … em}. Существует гомоморфизм из свободного модуля в этот модуль, отображающий базис в систему порождающих. Применив к этому отображению теорему о гомоморфизме, получим, что T изоморфен фактору . Приведём базисы и к виду базисов в лемме. Легко видеть, что

Каждое конечное слагаемое здесь можно разложить в произведение примарных, так как кольцо A факториально (см. статью Китайская теорема об остатках). Чтобы доказать единственность этого разложения, нужно рассмотреть подмодуль кручения (тогда размерность свободной части описывается в инвариантных терминах как размерность фактора по кручению), а также подмодуль p-кручения для каждого простого элемента p кольца A. Число слагаемых вида (для всех n) инвариантно описывается как размерность подмодуля элементов, аннулируемых умножением на p, как векторного пространства над полем .

Следствия

Случай даёт классификацию конечнопорождённых абелевых групп.

Пусть T — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве V над полем K. V можно рассматривать как модуль над (действительно, его элементы можно умножать на скаляры и на T), из конечномерности следует конечнопорождённость и отсутствие свободной части. Последний инвариантный фактор — минимальный многочлен, а произведение всех инвариантных факторов — характеристический многочлен. Выбрав стандартную форму матрицы оператора T, действующего на пространстве , получаем следующие формы матрицы T на пространстве V:

См. также

Примечания

  • Бурбаки Н. Алгебра. Часть 3. Модули, кольца, формы. — М.: Наука, 1966. Глава VII.
  • Винберг Э. Б., Курс алгебры. — М.: Изд-во´Факториал Пресс, 2001.
  • P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-82184-781-3.
  • Hungerford, Thomas W. (1980), Algebra, New York: Springer, с. 218–226, Section IV.6: Modules over a Principal Ideal Domain, ISBN 978-0-387-90518-1
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.