Нормальная форма Смита

Для любой матрицы ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle m\times n}$ над областью главных идеалов ${\displaystyle R}$ существуют такие обратимые над ${\displaystyle R}$ матрицы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$, что ${\displaystyle BAC=diag(g_{1},g_{2},....,g_{p},0,...,0)}$, где ${\displaystyle g_{i+1}}$ делится на ${\displaystyle g_{i}}$. Здесь ${\displaystyle diag(g_{1},g_{2},....,g_{p},0,...,0)}$ обозначает матрицу размера ${\displaystyle m\times n}$ с указанными диагональными элементами и остальными нулями.

Из теоремы о нормальной форме Смита следует известная теорема о структуре конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов. В частности, если ${\displaystyle R}$ — кольцо целых чисел, то из нормальной формы Смита получается теорема о строении конечнопорожденных абелевых групп, а если ${\displaystyle R=F[t]}$ — кольцо многочленов над алгебраически замкнутым полем ${\displaystyle F}$, то из нее можно вывести теорему о жордановой форме линейного оператора.

• Эрмитова нормальная форма

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.