Слабая производная

Пусть ${\displaystyle u}$ — функция из ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$. Функцию ${\displaystyle v(t)}$ из ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$ называют «слабой производной» ${\displaystyle u}$, если

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt}$

для всех непрерывно дифференцируемых функций ${\displaystyle \varphi }$ при ${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$. Это определение основано на методе интегрирования по частям.

Обобщая на ${\displaystyle n}$ измерений, если ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ принадлежат пространству ${\displaystyle L_{loc}^{1}(U)}$ локально интегрируемых функций для некоторой области ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$, и если ${\displaystyle \alpha }$ — это мультииндекс, то ${\displaystyle v}$ называется слабой производной ${\displaystyle u}$ порядка ${\displaystyle \alpha }$, если

${\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi }$

для всех ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$ — финитных в ${\displaystyle U}$ бесконечно гладких функций.

Если у функции ${\displaystyle u}$ есть слабая производная, то её часто обозначают через ${\displaystyle D^{\alpha }u}$, так как она единственна с точностью до множества меры нуль.

• Функция u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, которая не имеет производной в точке t = 0, тем не менее имеет на промежутке [−1, 1] слабую производную v, так называемую «функцию знака» (sgn), определяемую следующим соотношением:

${\displaystyle v\colon [-1,1]\to [-1,1]\colon t\mapsto v(t)={\begin{cases}1,&t>0;\\0,&t=0;\\-1,&t<0.\end{cases}}}$

Это не единственная производная u: всякая функция w совпадающая с v почти всюду также будет слабой производной u. Обычно это не является проблемой, так как с точки зрения и пространств Lp, и пространств Соболева они эквивалентны.

• Характеристическая функция множества рациональных чисел D (Функция Дирихле) нигде не дифференцируема, но слабую производную имеет всюду. Так как мера Лебега рациональных чисел равна нулю, то

${\displaystyle \int D(t)\varphi (t)dt=0}$

Таким образом, ${\displaystyle v(t)\equiv 0}$ есть слабая производная функции D. Это должно быть интуитивно понятно, ведь D в пространстве Lp эквивалентна тождественному нулю.

• Если две функции являются слабыми производными одной и той же функции, то они совпадают на множестве полной меры (почти всюду). Если, как принято в пространствах ${\displaystyle L_{p}}$, полагать почти всюду равные функции эквивалентными, то слабая производная определена единственным образом.

• Если u имеет обычную («сильную») производную, тогда она будет являться слабой производной. В этом смысле, слабая производная является обобщением сильной. Более того, классические правила для производных от суммы и от произведения функций сохраняются и для слабых производных.

Понятие слабой производной заложило основу для построения т. н. слабых решений в пространстве Соболева, которые оказались полезными в теории дифференциальных уравнений и в Функциональном анализе.

• Михлин С.Г. Курс математической физики. — 2-е, стереотипное. — СПб.: Лань, 2002. — 576 с. — ISBN 5-8114-0468-9.
• Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1.
• Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973. — 576 с.