Скин-эффект

Механизм возникновения скин-эффекта. Переменный ток в проводнике порождает переменное вихревое магнитное поле силовые линии которого перпендикулярны к оси проводника За счёт электромагнитной индукции переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, вызывающее протекание вихревого тока Фуко, причём на поверхности проводника вихревой ток направлен по направлению тока проводника, а внутри проводника — противоположно. Это явление снижает ток в сердцевине проводника и увеличивает поверхностный ток.

Рассмотрим цилиндрический проводник, по которому течёт ток. Вокруг проводника с током имеется магнитное поле, силовые линии которого являются концентрическими окружностями с центром на оси проводника. В результате увеличения силы тока возрастает индукция магнитного поля, а форма силовых линий при этом остаётся прежней. Поэтому в каждой точке внутри проводника производная ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ направлена по касательной к линии индукции магнитного поля и, следовательно, линии ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ также являются окружностями, совпадающими с линиями индукции магнитного поля. Изменяющееся магнитное поле по закону электромагнитной индукции:

${\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

создаёт электрическое индукционное поле, силовые линии которого представляют замкнутые кривые вокруг линии индукции магнитного поля. Вектор напряжённости индукционного поля в более близких к оси проводника областях направлен противоположно вектору напряжённости электрического поля, создающего ток, а в более дальних — совпадает с ним. В результате плотность тока уменьшается в приосевых областях и увеличивается вблизи поверхности проводника, то есть возникает скин-эффект.

Исходим из уравнения Максвелла:

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {B} =\mu \mathbf {j} }$

и выражения для ${\displaystyle \mathbf {j} }$ по закону Ома:

${\displaystyle \mathbf {j} =\gamma \mathbf {E} .}$

Дифференцируя обе части полученного уравнения по времени, находим:

${\displaystyle \operatorname {rot} {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\mu \gamma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},}$

${\displaystyle -\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {E} =\mu \gamma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},}$

здесь ${\displaystyle \gamma }$ — удельная проводимость материала проводника, ${\displaystyle \gamma =1/\rho ,\ \ }$ ${\displaystyle \rho }$ — удельное сопротивление материала проводника.

Поскольку ${\displaystyle \operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {E} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {E} -\nabla ^{2}\mathbf {E} }$ и ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {E} =0}$ окончательно получаем:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu \gamma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$.

здесь ${\displaystyle \mu }$ — абсолютная магнитная проницаемость материала проводника, ${\displaystyle \mu =\mu _{0}\mu _{m},\ \ }$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ — магнитная проницаемость вакуума, ${\displaystyle \mu _{m}}$ — относительная магнитная проницаемость материала проводника.

Скин-эффект в бесконечном проводнике с плоской границей.

Для упрощения решения предположим, что ток течёт вдоль оси ${\displaystyle X}$ по однородному бесконечному проводнику, занимающему полупространство ${\displaystyle y>0}$. Поверхностью проводника является плоскость ${\displaystyle Y=0.}$ Таким образом:

${\displaystyle j_{x}=j_{x}(y,t),\qquad j_{y}=j_{z}=0,}$

${\displaystyle E_{x}=E_{x}(y,t),\qquad E_{y}=E_{z}=0.}$

Тогда:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}}=\mu \gamma {\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}.}$

В этом уравнении все величины гармонически зависят от ${\displaystyle t,}$ и можно положить:

${\displaystyle E_{x}(y,t)=E_{0}(y)e^{i\omega t},}$

здесь ${\displaystyle \omega }$ - угловая частота.

Подставим это в наше уравнение и получим уравнение для ${\displaystyle E_{0}(y):}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial y^{2}}}=i\gamma \mu \omega E_{0}.}$

Общее решение этого уравнения:

${\displaystyle E_{0}=A_{1}e^{-ky}+A_{2}e^{ky}.}$

Учитывая, что ${\displaystyle k={\sqrt {i\gamma \mu \omega }}=\alpha (1+i)}$, где ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {\gamma \mu \omega }{2}}}}$, находим:

${\displaystyle E_{0}=A_{1}e^{-\alpha y}e^{-i\alpha y}+A_{2}e^{\alpha y}e^{i\alpha y}.}$

При удалении от поверхности проводника (${\displaystyle y\rightarrow \infty }$) второе слагаемое неограниченно возрастает, что является физически недопустимой ситуацией. Следовательно, ${\displaystyle A_{2}=0}$, и в качестве физически приемлемого решения остаётся только первое слагаемое. Тогда решение задачи имеет вид:

${\displaystyle E_{x}=A_{1}e^{-\alpha y}e^{i(\omega t-\alpha y)}.}$

Взяв действительную часть от этого выражения и перейдя с помощью соотношения ${\displaystyle \mathbf {j} =\gamma \mathbf {E} }$ к плотности тока, получим:

${\displaystyle j_{x}(y,t)=A_{1}e^{-\alpha y}\cos {(\omega t-\alpha y)}.}$

Принимая во внимание, что ${\displaystyle j_{x}(0,0)=j_{0}}$ — амплитуда плотности тока на поверхности проводника, приходим к следующему распределению объёмной плотности тока в проводнике:

${\displaystyle j_{x}(y,t)=j_{0}e^{-\alpha y}\cos {(\omega t-\alpha y)}.}$